Question

【题目】四边形内接于，连接，且．

（1）如图1，求证：；

（2）如图2，点在上，连接，求证：；

（3）如图3，在（2）的条件下，若的半径长为，求的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）

【解析】

（1）根据圆周角性质和等腰三角形性质可得，，结合圆的内接四边形对角互补性质可得；

（2）延长到使，连接，由（1）证，，得，，可进一步得，

由，得，再结合，证，可证出；

（3）过点作于点，过点作于点，设，证，得，在中，由勾股定理得，，过点作于点，由，得，求出，，，证，得，，，过点作于点，连接，证，根据，得，化简得到，在中，根据勾股定理得．

证明：（1）∵，∴，

∵，又∵，

∴；

（2）延长到使，连接，

∵，

又∵，

∴，∵

∴，∴，

∵，∴，

∴，

∵，

∴，∵，

∴，∴，

∴；

（3）过点作于点，过点作于点，

设，∵，∴，

∵，∴，

∵，∴，∴，

∵，∴，

∴，

在中，由勾股定理得，，

过点作于点，

∵，

∴，即，

∴，∴，∴，

∵，∴，

∴，∴，

∵，∴，

过点作于点，连接，

∵，∴，

∵，∴，

∴，即，

∵，∴，

在中，，

即，

∴（舍去），∴．