Question

如图，已知二次函数y=x²+bx+c的图象的对称轴为直线x=1，且与x轴有两个不同的交点，其中一个交点坐标为（-1，0）．
（1）求二次函数的关系式；
（2）在抛物线上有一点A，其横坐标为-2，直线l过点A并绕着点A旋转，与抛物线的另一个交点是点B，点B的横坐标满足-2＜x_B＜，当△AOB的面积最大时，求出此时直线l的关系式；
（3）抛物线上是否存在点C使△AOC的面积与（2）中△AOB的最大面积相等？若存在，求出点C的横坐标；若不存在说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）把点A的坐标和对称轴代入即可；
（2）将切线和抛物线的方程联立即可求解；
（3）联立抛物线和直线y=-x+，解得点C的横坐标．
解答：解：（1）二次函数y=x²+bx+c图象的对称轴是直线x=1，且过点A（-1，0），
代入得：-=1，1-b+c=0，
解得：b=-2，c=-3，
所以二次函数的关系式为：y=x²-2x-3；

（2）∵点在抛物线上，
∴A（-2，5）．
由于AO是定长，要是△AOB的面积最大，则要以AO为底的高最大，即点B到AO的距离最大，
∵-2＜xB＜，
则点B在A点和对称轴之间的抛物线上，将直线AO平移到与抛物线相切于点B时，△AOB的面积最大．
∵直线AO：y=-x，
∴可以设切线：y=-x+b，
将切线和抛物线的方程联立，得x²+x-3-b=0．①
又∵是切线，
∴只有一个交点，即△=0，可得b=-，
代入①，解得点B的横坐标为-，所∴点B（-，-），
又∵A（-2，5），
∴l：y=-x-．

（3）要使△AOC的面积与△AOB的最大面积相等，则点C到直线OA的距离等于点B（-，-）到OA的距离
∵过点B的切线：y=-x-，
∴要使点C到直线OA的距离等于点B到OA的距离，那么点C一定是直线y=-x+与抛物线的交点
联立抛物线和直线y=-x+，
解得：x=或x=，
则点C的横坐标为或．
点评：本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，用待定系数法求一次函数的解析式，直角三角形斜边上中线等知识点，解此题的关键是求出点P的坐标，此题难度较大．用的数学思想是分类讨论思想．