Question

【题目】如图，在△ABC中，tan∠ABC=，∠ACB=45°，AD=8，AD是边BC上的高，垂足为D，BE=4，点M从点B出发沿BC方向以每秒3个单位的速度运动，点N从点E出发，与点M同时同方向以每秒1个单位的速度运动．以MN为边在BC的上方作正方形MNGH．点M到达点C时停止运动，点N也随之停止运动．设运动时间为t（秒）（t＞0）．

（1）当t为多少秒时，点H刚好落在线段AB上？

（2）当t为多少秒时，点H刚好落在线段AC上？

（3）设正方形MNGH与Rt△ABC重叠部分的图形的面积为S，求出S关于t的函数关系式并写出自变量t的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）当t为秒时，点H刚好落在线段AB上；（2）当t为秒时，点H刚好落在线段AC上； （3）S关于t的函数关系式为：S=．

【解析】分析： 如图1中，当H在AB上时，易知 根据列出方程即可解决问题；

如图2中，当H在AC上时，根据列出方程即可解决问题；

分四种情形列出方程即可①如图3中，当时，重叠部分是五边形MNGPK．②如图4中，当时，重叠部分是正方形MNGH．③如图5中，当时，重叠部分是四边形MNGH．④如图6中，当时，重叠部分是五边形MNGKP；

详解：（1）如图1，当H在AB上时，

在Rt 中，

∴BD=6，

在Rt 中，∵

由题意得：

∴

∵四边形MNGH是正方形，

∴

即

当t为秒时，点H刚好落在线段AB上；

（2）如图2，H在AC上时，

由题意得： 则

∵

∴

当t为秒时，点H刚好落在线段AC上；

（3）分四种情况：

①如图3，当时，重叠部分是五边形MNGPK，

∵

∴

∵

∴

∴

∴S=S正方形MNGH-S△PHK，

②如图4，当时，重叠部分为正方形MNGH，

∴

③如图5，当时，重叠部分为正方形MNGH，

∴

④如图6，当时，重叠部分为五边形GNMPK，

∵，

∴

∵

同理可得：S=S正方形MNGH-S△PHK，

综上所述，S关于t的函数关系式为：