Question

5．在△ABC中，∠C=90°，∠B=∠22.5°，DE垂直平分AB交BC于E，BC=2+2$\sqrt{2}$，则AC=2．

Answer 1

分析 由DE垂直平分AB，可得AE=BE，又由在△ABC中，∠C=90°，∠B=∠22.5°，易得△ACE是等腰直角三角形，继而可得BC=（$\sqrt{2}$+1）AC，则可求得答案．

解答 解：∵DE垂直平分AB，
∴AE=BE，
∵∠B=∠22.5°，
∴∠BAE=∠B=∠22.5°，
∴∠AEC=∠BAE+∠E=45°，
∵在△ABC中，∠C=90°，
∴AE=$\sqrt{2}$AC，AC=CE，
∴BE=$\sqrt{2}$AC，
∴BC=CE+BE=AC+$\sqrt{2}$AC=2+2$\sqrt{2}$，
∴AC=2．
故答案为：2．

点评 此题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质以及等腰直角三角形性质．注意得到BC=（$\sqrt{2}$+1）AC是关键．