Question

【题目】如图，在矩形中，，，直角尺的直角顶点在上滑动时（点与，不重合），

一直角边经过点，另一直角边交于点，我们知道，结论“”成立．

当时，求的长；

是否存在这样的点，使的周长等于周长的倍？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）AE＝；（2）存在这样的点，且长为

【解析】

（1）由于∠CPD与∠AEP同为∠APE的余角，因此当时，∠AEP=30°．可在Rt△CPD中，根据∠CPD的度数和CD的长，求出PD的长，进而可求出AP的值．同理可在Rt△APE中，求出AE的长．
（2）由于Rt△AEP∽Rt△DPC，当△DPC的周长等于△AEP周长的2倍时，两个三角形的相似比为1：2，即．根据CD=AB=4，可求出PD的长．

解：∵，

∴当时，．

在中，，，因此，

∴．

在中，，，因此．假设存在这样的点，

∵，

∴．

∵，

∴，，

∴存在这样的点，且长为．