Question

3．定义：如果代数式a₁x²+b₁x+c₁（a₁≠0，a₁，b₁，c₁是常数）与a₂x²+b₂x+c₂（a₂≠0，a₂，b₂，c₂是常数），满足a₁+a₂=0，b₁+b₂=0，c₁+c₂=0，则称两个代数式互为”牛郎织女式”
（1）写出-x²+2x-3的“牛郎织女式”；
（2）若-x²-18mx-3与x²-2nx+n互为“牛郎织女式”，求（mn）²⁰¹⁵的值；
（3）无论x取何值时，代数式x²-2x+a的值总大于其“牛郎织女式”的值，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据定义即可求出-x²+2x-3的“牛郎织女式”；
（2）根据定义求出m与n的值，代入原式求值即可；
（3）利用作差法即可求出a的范围．

解答 解：（1）设-x²+2x-3的“牛郎织女式”为ax²+bx+c
由题意可知：a=1，b=-2，c=3，
∴-x²+2x-3的“牛郎织女式”为x²-2x+3；
（2）由题意可知：-18m-2n=0，-3+n=0，
解得：m=-$\frac{1}{3}$，n=3，
∴原式=（-1）²⁰¹⁵=-1；
（3）x²-2x+a的“牛郎织女式”为-x²+2x-a，
∴由题意可知：x²-2x+a＞-x²+2x-a对于任何x都成立，
∴x²-2x+a-（-x²+2x-a）＞0，
∴a＞-x²+2x，
∴a＞-（x-1）²+1对于任何的x都成立，
∵-（x-1）²+1的最大值为1，
∴a＞1，

点评 本题考查学生的阅读理解能力，涉及相反数的性质，解方程，代入求值，不等式的解法，配方法求值最值等知识．