Question

19．如图，AB、DC都在BC的同侧且AB⊥BC于B，DC⊥BC于C，AC，BD交于点P．PQ⊥BC于Q
（1）求证：$\frac{1}{AB}$+$\frac{1}{CD}$=$\frac{1}{PQ}$； 
（2）求证：PQ平分∠AQD．

Answer 1

分析 （1）由已知条件得到AB∥CD∥PQ，证得△CPQ∽△CAB，△BPQ∽△BDC，根据相似三角形的性质得到$\frac{PQ}{AB}=\frac{CQ}{CB}$，$\frac{PQ}{DC}=\frac{BQ}{BC}$，两式相加得到$\frac{PQ}{AB}+\frac{PQ}{CD}=\frac{CQ}{BC}+\frac{BQ}{BC}$=1，于是得到结论；
（2）根据已知条件得到AB∥CD∥PQ，根据平行线的性质得到∠PQA=∠QAB，∠PQD=∠QDC，根据所得的比例式得到PQ•BC=AB•CQ，PQ•BC=DC•BQ，等量代换得到AB•CQ=DC•BQ，推出△BAQ∽△CDQ，由相似三角形的性质得到∠BAQ=∠CDQ，等量代换得到∠PQA=∠PQD，于是得到结论．

解答 证明：（1）∵AB⊥BC于B，DC⊥BC于C，PQ⊥BC于Q，
∴AB∥CD∥PQ，
∴△CPQ∽△CAB，△BPQ∽△BDC，
∴$\frac{PQ}{AB}=\frac{CQ}{CB}$，$\frac{PQ}{DC}=\frac{BQ}{BC}$，
∴$\frac{PQ}{AB}+\frac{PQ}{CD}=\frac{CQ}{BC}+\frac{BQ}{BC}$=1，
∴$\frac{1}{AB}$+$\frac{1}{CD}$=$\frac{1}{PQ}$；

（2）∵AB⊥BC于B，DC⊥BC于C，PQ⊥BC于Q，
∴AB∥CD∥PQ，
∴∠PQA=∠QAB，∠PQD=∠QDC，△CPQ∽△CAB，△BPQ∽△BDC，
∴$\frac{PQ}{AB}=\frac{CQ}{CB}$，$\frac{PQ}{DC}=\frac{BQ}{BC}$，
∴PQ•BC=AB•CQ，PQ•BC=DC•BQ，
∴AB•CQ=DC•BQ，
即$\frac{AB}{CD}=\frac{BQ}{CQ}$，
∴△BAQ∽△CDQ，
∴∠BAQ=∠CDQ，
∴∠PQA=∠PQD，
即PQ平分∠AQD．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的判定，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．