Question

如图，在梯形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC，AE∥CD交BC于E，∠BAE=∠EAC，O是AC的中点，AD=DC=2，下面结论：
①AC=2AB；②AB=

3

；③S_△ADC=2S_△ABE；④BO⊥AE，
其中正确的个数是（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：根据条件AD∥BC，AE∥CD可以得出四边形AECD是平行四边形，由AD=CD可以得出四边形AECD是菱形，就有AE=EC=CD=AD=2，就有∠2=∠3，有∠1=∠2，∠ABC=90°，可以得出∠1=∠2=∠3=30°，有∠BAC=60°，可以得出AC=2AB，有O是AC的中点，就有BO=AO=CO=

1

2

AC．就有△ABO为等边三角形，∠1=∠2就有AE⊥BO，由∠1=30°，∠ABE=90°，就有BE=

1

2

AE=1，由勾股定理就可以求出AB的值，从而得出结论．

解答：解：∵AD∥BC，AE∥CD，
∴四边形AECD是平行四边形．
∵AD=DC，
∴四边形AECD是菱形，
∴AE=EC=CD=AD=2，
∴∠2=∠3．
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠2=∠3．
∵∠ABC=90°，
∴∠1+∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠2=∠3=30°，
∴BE=

1

2

AE，AC=2AB．本答案正确；
∴BE=1，．
在Rt△ABE中，由勾股定理，得
AB=

4-1

=

3

．本答案正确；
∵O是AC的中点，∠ABC=90°，
∴BO=AO=CO=

1

2

AC．
∵∠1=∠2=∠3=30°，
∴∠BAO=60°，
∴△ABO为等边三角形．
∵∠1=∠2，
∴AE⊥BO．本答案正确；
∵S_△ADC=S_△AEC=

AB．CE

2

，S_△ABE=

AB．BE

2

，
∵CE=2，BE=1，
∴CE=2BE，
∴S_△ACE=

AB.2BE

2

=2×

AB．BE

2

，
∴S_△ACE=2S_△ABE，
∴S_△ADC=2S_△ABE．本答案正确．
∴正确的个数有4个．故选D．

点评：本题考查了平行四边形的判定，菱形的判定及性质的运用，直角三角形的性质的性质的运用，勾股定理的运用，三角形的面积公式的运用，等边三角形的性质的运用．解答时证明出四边形AECD是菱形是解答本题的关键