题目内容
【题目】⑴ 阅读理解：我们知道在直角三角形中，有无数组勾股数，例如：5、12、13；9、40、41；……但其中也有一些特殊的勾股数，例如：3、4、5；是三个连续正整数组成的勾股数.
解决问题：① 在无数组勾股数中，是否存在三个连续偶数能组成勾股数？
答： ，若存在，试写出一组勾股数： .
② 在无数组勾股数中，是否还存在其它的三个连续正整数能组成勾股数？若存在，求出勾股数，若不存在，说明理由.
③ 在无数组勾股数中，是否存在三个连续奇数能组成勾股数？若存在，求出勾股数，若不存在，说明理由.
⑵ 探索升华：是否存在锐角△ABC三边也为连续正整数；且同时还满足：∠B＞∠C＞∠A；∠ABC＝2∠BAC？若存在，求出△ABC三边的长；若不存在，说明理由.
【答案】（1）①存在，6、8、10；②不存在，理由见解析；③不存在，理由见解析；（2）存在．三边长分别是4、5、6
【解析】分析：(1)①3，4，5是连续正整数，则它们的2倍是连续偶数；②设三个连续正整数分别是：n－1，n，n＋1(n＞1的整数)，用勾股定理列方程求解；③设三个连续奇数分别是：2n－1，2n＋1，2n＋3(n＞1的整数)，由奇数的平方是奇数，奇数＋奇数＝偶数分析判断；(2)延长CB到点D，使BD＝BA，连接AD，证明△CAB∽△CDA，用比例线段列方程求解.
详解：⑴①答：存在；6，8，10.
②答：不存在．
理由：假设在无数组勾股数中，还存在其它的三个连续正整数能组成勾股数.
设三个连续正整数分别是：n－1，n，n＋1(n＞1的整数)，
则：(n－1)2＋n2＝(n＋1)2，
得：n1＝4，n2＝0(舍去)
∴当n＝4时，n－1＝3，n＋1＝5，
∴三个连续正整数仍然为3，4，5，
∴不存在其它的三个连续正整数能组成勾股数．
③答：不存在．
理由：假设在无数组勾股数中，存在三个连续奇数能组成勾股数.
设三个连续奇数分别是：2n－1，2n＋1，2n＋3(n＞1的整数)，
∵(奇数)2＋(奇数)2≠(奇数)2
∴不存在三个连续奇数能组成勾股数．
⑵答：存在．三边长分别是4，5，6．
理由：如图，在△ABC中，设AB＝x，AC＝x＋1，BC＝x－1(x＞1的整数)，
则：∠B＞∠C＞∠A；且∠ABC＝2∠BAC，
延长CB到点D，使BD＝BA，连接AD.
∴∠BAD＝∠BDA，
又∵∠ABC＝∠BAD＋∠BDA＝2∠BDA，且∠ABC＝2∠BAC，
∴∠BAC＝∠BDA.
又∵∠C＝∠C，∴△CAB∽△CDA，
∴AC2＝BC·DC，∴(x＋1)2＝(x－1)[(x－1)＋x]，
得：x1＝5，x2＝0(舍去).
当x＝5时，x－1＝4，x＋1＝6，即：BC＝4，AB＝5，AC＝6，
答：存在锐角△ABC三边为连续正整数，BC＝4，AB＝5，AC＝6；
且同时还满足：∠B＞∠C＞∠A；∠ABC＝2∠BAC.
