题目内容

若抛物线y=ax²+bx+c（a≠0，△＞0）与x轴交与A、B两点（点A在点B左边）与y轴交于点C，我们称△ABC 为抛物线的“奠基三角形”．
（1）若抛物线的“奠基三角形”△ABC的三顶点坐标分别为A（1，0）、B（5，0）、C（0，5），求该抛物线的解析式；
（2）在（1）的抛物线上是否存在一点P，使△PBC与“奠基三角形”△ABC的面积相等？若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由．
（3）在（1）抛物线上是否存在一点P，在对称轴上是否存在一点D，使以A，B，P，D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

解：（1）∵A（1，0）、B（5，0）、C（0，5）在抛物线y=ax²+bx+c上，
∴设y=a（x-1）（x-5），
∴a（0-1）（0-5）=5，
解得：a=1，
∴y=（x-1）（x-5）=x²-6x+5，
∴该抛物线的解析式为y=x²-6x+5；

（2）过点A作直线BC的平行线l₁，交抛物线于点P₁，
设直线BC的解析式为：y=kx+b，
∵B（5，0）、C（0，5），
∴ $\text{[math]}$ ，
解得： $\text{[math]}$ ，
∴直线BC的解析式为：y=-x+5，
设直线l₁的解析式为：y=-x+m，

∵A（1，0），
∴-1+m=0，
解得：m=1，
∴直线l₁的解析式为：y=-x+1，
∴直线l₁与y轴的交点E（0，1），
∴CE=OC-OE=5-1=4，
联立直线l₁的解析式与抛物线的解析式，可得：
$\text{[math]}$ ，
解得： $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ （舍去），
∴P₁（4，-3）；
同理：把直线BC向上平移4个单位，与y轴交于点F，
则直线l₂的解析式为：y=-x+9，
联立直线l₂的解析式与抛物线的解析式，可得：
$\text{[math]}$ ，
解得： $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ，

∴P₂（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）或P₃（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）；

（3）如图，若PD∥AB，当PD=AB=OB-OA=5-1=4时，以A，B，P，D为顶点的四边形是平行四边形，
∵y=x²-6x+5=（x-3）²-4，
∴此抛物线的对称轴为：直线x=3，
∴P的横坐标为：3+4=7或3-4=-1，
∴P₁（7，12），P₂（-1，12）；
当P₃（3，-4），D（3，4）时，以A，B，P，D为顶点的四边形是平行四边形．
综上可得：P₁（7，12），P₂（-1，12），P₃（3，-4）．
分析：（1）由A（1，0）、B（5，0）、C（0，5）在抛物线y=ax²+bx+c上，可设y=a（x-1）（x-5），继而可求得该抛物线的解析式；
（2）首先过点A作直线BC的平行线l₁，交抛物线于点P₁，设直线BC的解析式为：y=kx+b，利用待定系数法即可求得直线BC的解析式，由平行线的性质，可设直线l₁的解析式为：y=-x+m，继而可求得直线l₁的解析式，然后联立直线l₁的解析式与抛物线的解析式，即可求得点P的坐标，同理把直线BC向上平移4个单位，与y轴交于点F，则直线l₂的解析式为：y=-x+9，联立直线l₂的解析式与抛物线的解析式，即可求得答案；
（3）由若PD∥AB，当PD=AB=OB-OA=5-1=4时，以A，B，P，D为顶点的四边形是平行四边形，即可求得点P的横坐标，继而可求得点P的坐标；又由当P₃（3，-4），D（3，4）时，以A，B，P，D为顶点的四边形是平行四边形．
点评：此题考查了待定系数法求函数的解析式以及平行四边形的判定与性质．此题难度较大，注意掌握方程思想、分类讨论思想与数形结合思想的应用．