如图.O是∠ABC的边BA上一点.以O为圆心的圆与角的另一边BC相切于点D.交BO于点E.F是OA上一点.过F作FG⊥AB.交BC于点G.BD=23.sin∠ABC=12.设OF=x.四边形EDGF的面积为y．(1)求y与x之间的函数关系式,(2)在直角平面坐标系内画出这个函数的大致图象,(3)这个函数的图象与经过点(1.33)的正比例函数的图象有无交点?若有交点.求出� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

如图，O是∠ABC的边BA上一点，以O为圆心的圆与角的另一边BC相切于点D，交BO于点E，F是OA上一点，过F作FG⊥AB，交BC于点G，BD=2

，sin∠ABC=

，设OF=x，四边形EDGF的面积为y．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）在直角平面坐标系内画出这个函数的大致图象；
（3）这个函数的图象与经过点（1，

）的正比例函数的图象有无交点？若有交点，

求出交点坐标；若无交点，试说明理由．

分析：（1）连接OD，则由切线性质可得OD⊥BC，作EH⊥BD垂足为H，由sin∠ABC=

，可知∠ABC=30°，图形中就有三个30°的直角三角形，分别是△BEH、△BOD和△BGF，先解△BOD，由BD=2

，可求OD、OB、BE，再解△BEH，可求EH及△BED的面积，由于OF=x，则BF可表示出来，解Rt△BGF，可表示FG及△BGF的面积，用S_{四边形EDGF}=S_△BGF-S_△BDE即可；
（2）画图象时，要注意抛物线对称轴，顶点坐标，与坐标轴的交点及自变量的取值范围；
（3）由点（1，

）可得正比例函数关系式，与二次函数解析式联立，解方程组即可．

解答：

解：（1）连接OD，则OD⊥BC，
∴△BOD是直角三角形，由sin∠ABC=

，设OD=m，则OB=2m，
在Rt△OBD中，BO²=BD²+OD²；即（2m）²=（2

）²+m²，
∴OD=m=2，OB=2m=4，
∴BE=OB-OE=OB-OD=4-2=2，BF=OB+OF=4+x．
作EH⊥BD垂足为H，则∠BHE=∠BDO=90°，
∴EH∥OD，
∵BE=OE，BH=HD，
∴EH=

OD．
又∵S_△OBD=

BD•OD=

×2

×2=2

，
∴S_△BED=

S_△OBD=

，
∵GF⊥AB，∴∠BDO=∠BFG=90°，
又∵∠DBO=∠FBG，
∴△OBD∽△GBF，

S△OBD

S△GBF

)2，
即

S△GBF

4+x

)2
∴S_△GBF=

（4+x）²-

即y=

（4+x）²-

．

（2）所求函数的大致图象如图所示．

（3）设正比例函数为y=kx
∵这个正比例函数的图象经过点（1，

）．
∴

=k×1，
∴k=

∴这个正比例函数是y=

x．
解方程组

(4+x)2-

，
得

x1=-2

y1=-

，

x2=-5

y2=-

，
∴这个正比例函数与（1）中函数的图象有两个交点，
其坐标分别为（-2，-

）、（-5，-

）．

点评：本题考查了解直角三角形，三角形面积的表示方法，求二次函数解析式及其图象，二次函数图象与一次函数图象的交点等综合运用问题，在表示不规则四边形面积时，要学会作差法．

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