题目内容
若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为系数且为常数）的两个根，则x1+x2=-
，x1•x2=
．这个定理叫做韦达定理．
如：x1，x2是方程x2+2x-1=0的两个根，则x1+x2=-2、x1•x2=-1
已知：M、N是方程x2-x-1=0的两根，
记S1=M+N；S2=M2+N2，…Sn=Mm+Nn
．
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| a |
| c |
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如：x1，x2是方程x2+2x-1=0的两个根，则x1+x2=-2、x1•x2=-1
已知：M、N是方程x2-x-1=0的两根，
记S1=M+N；S2=M2+N2，…Sn=Mm+Nn
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分析：（1）根据韦达定理得到M+N=1，MN=-1，即可得到S1=1，然后利用完全平方公式、立方和公式分别计算出S2，S3，S4；
（2）观察（1）的计算结果可得到Sn=Sn-1+Sn-2；
（3）由于方程x2-x-1=0的两根为x1=
，x2=
，则原式=S8，然后利用（2）中的规律可计算出S5=11，S6=18，S7=29，S8=47，从而得到原式的值．
（2）观察（1）的计算结果可得到Sn=Sn-1+Sn-2；
（3）由于方程x2-x-1=0的两根为x1=
1+
| ||
| 2 |
1-
| ||
| 2 |
解答：解：（1）∵M+N=1，MN=-1，
∴S1=1，S2=（M+N）2-2MN=12-2×（-1）=3，S3=（M+N）（M2-MN+N2）=1×（3+1）=4，S4=（M2+N2）2-2M2N2=32-2×（-1）2=7；
（2）Sn=Sn-1+Sn-2；
（3）∵方程x2-x-1=0的两根为x1=
，x2=
，
∴原式=S8，
∵S5=S3+S4=11，S6=S4+S5=18，S7=S4+S5=29，S8=S7+S6=47，
∴原式=47．
∴S1=1，S2=（M+N）2-2MN=12-2×（-1）=3，S3=（M+N）（M2-MN+N2）=1×（3+1）=4，S4=（M2+N2）2-2M2N2=32-2×（-1）2=7；
（2）Sn=Sn-1+Sn-2；
（3）∵方程x2-x-1=0的两根为x1=
1+
| ||
| 2 |
1-
| ||
| 2 |
∴原式=S8，
∵S5=S3+S4=11，S6=S4+S5=18，S7=S4+S5=29，S8=S7+S6=47，
∴原式=47．
点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x1，x2，则x1+x2=-
，x1•x2=
．
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练习册系列答案
相关题目
（2012•兰州）若x1、x2是关于一元二次方程ax2+bx+c（a≠0）的两个根，则方程的两个根x1、x2和系数a、b、c有如下关系：x1+x2=-
，x1•x2＝
．把它称为一元二次方程根与系数关系定理．如果设二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的两个交点为A(x1，0)，B(x2，0)．利用根与系数关系定理可以得到A、B连个交点间的距离为：AB＝|x1－x2|＝
。