Question

已知：如图，内接于，为直径，弦于，是的中点，连结并延长交的延长线于点，连结，分别交、于点、．

    （1）求证：是的外心；    （2）若,求的长；

    （3）求证：．

 

Answer 1

（1）证明：∵C是的中点，∴，

∴∠CAD=∠ABC

∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°。

∴∠CAD+∠AQC=90°

又CE⊥AB，∴∠ABC+∠PCQ=90°

∴∠AQC=∠PCQ

∴在△PCQ中，PC=PQ，

∵CE⊥直径AB，∴

∴

∴∠CAD=∠ACE。

∴在△APC中，有PA=PC，

∴PA=PC=PQ

∴P是△ACQ的外心。

（2）解：∵CE⊥直径AB于F，

∴在Rt△BCF中，由tan∠ABC=，CF=8，

得。

∴由勾股定理，得

∵AB是⊙O的直径，

∴在Rt△ACB中，由tan∠ABC=，

       得。

易知Rt△ACB∽Rt△QCA，∴

∴。

（3）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°

∴∠DAB+∠ABD=90°

又CF⊥AB，∴∠ABG+∠G=90°

∴∠DAB=∠G；

∴Rt△AFP∽Rt△GFB，

∴，即

易知Rt△ACF∽Rt△CBF，

∴（或由摄影定理得）

∴

由（1），知PC=PQ，∴FP+PQ=FP+PC=FC

∴。