Question

如图，已知边长为a的正方形ABCD，在AB、AD上分别取点P、S，连接PS，将Rt△SAP绕正方形中心O旋转180°得Rt△QCR，从而得四边形PQRS．试判断四边形PQRS能否变化成矩形？若能，设PA=x，SA=y，请说明x、y具有什么关系时，四边形PQRS是矩形；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析：根据Rt△SAP与Rt△QCR关于点O对称即可求得平行四边形PQRS，从而可以求证△BPQ∽△ASP，即可得

BP

AS

=

BQ

AP

，即可解题．

解答：解：∵Rt△SAP与Rt△QCR关于点O对称，
∴QS与PR被O点平分，得到平行四边形PQRS，若平行四边形PQRS变成矩形，不妨设∠QPS=90°，
则∠BPQ+∠APS=90°，又∠APS+∠ASP=90°，
∴∠BPQ=∠ASP，从而△BPQ∽△ASP∴

BP

AS

=

BQ

AP

，即

a-x

y

=

a-y

x

整理得 （x-y）（x+y-a）=0，∴x=y或x+y=a，
故当x=y或x+y=a时，可证得△BPQ∽△ASP，
∠QPS=90°，从而得平行四边形PQRS是矩形．

点评：本题考查了矩形的判定，考查了相似三角形的判定，考查了相似三角形对应边比值相等的性质，本题中求证△BPQ∽△ASP是解题的关键．