Question

已知关于x的一元二次方程 （m-2）x²-（m-1）x+m=0．（其中m为实数）
（1）若此方程的一个非零实数根为k，
①当k=m时，求m的值；
②若记为y，求y与m的关系式；
（2）当＜m＜2时，判断此方程的实数根的个数并说明理由．

Answer 1

解：（1）∵k为（m-2）x²-（m-1）x+m=0的实数根，
∴（m-2）k²-（m-1）k+m=0．+
①当k=m时，
∵k为非零实数根，
∴m≠0，方程两边都除以m，得（m-2）m-（m-1）+1=0．
整理，得m²-3m+2=0．
解得m₁=1，m₂=2．
∵（m-2）x²-（m-1）x+m=0是关于x的一元二次方程，
∴m≠2．
∴m=1．
②∵k为原方程的非零实数根，
∴将方程两边都除以k，得．
整理，得．
∴．

（2）解法一：△=[-（m-1）]²-4m（m-2）=-3m²+6m+1=-3m（m-2）+1．
当＜m＜2时，m＞0，m-2＜0．
∴-3m（m-2）＞0，-3m（m-2）+1＞1＞0，△＞0．
∴当＜m＜2时，此方程有两个不相等的实数根．
解法二：直接分析＜m＜2时，函数y=（m-2）x²-（m-1）x+m的图象，
∵该函数的图象为抛物线，开口向下，与y轴正半轴相交，
∴该抛物线必与x轴有两个不同交点．
∴当＜m＜2时，此方程有两个不相等的实数根．
解法三：△=[-（m-1）]²-4m（m-2）=-3m²+6m+1=-3（m-1）²+4．
结合△=-3（m-1）²+4关于m的图象可知，（如图）
当＜m≤1时，＜△≤4；
当1＜m＜2时，1＜△＜4．
∴当＜m＜2时，△＞0．
∴当＜m＜2时，此方程有两个不相等的实数根．
分析：（1）由于k为此方程的一个实数根，故把k代入原方程，即可得到关于k的一元二次方程，
①把k=m代入关于k的方程，即可求出m的值；
②由于k为原方程的非零实数根，故把方程两边同时除以k，便可得到关于y与m的关系式；
（2）先求出根的判别式，再根据m的取值范围讨论△的取值即可．
点评：本题考查的是一元二次方程根的判别式，解答此题的关键是熟知一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0?方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0?方程没有实数根．