Question

如图，抛物线的顶点为P（-2，2），与y轴交于点A（0，3）．若平移该抛物线使其顶点P沿直线移动到点P′（2，2），点A的对应点为A′，则抛物线上PA段扫过的区域（阴影部分）的面积为

 

．

Answer 1

考点：二次函数图象与几何变换

专题：计算题

分析：连结PA、P′A′，如图，作AH⊥PP′，利用抛物线的对称性得到抛物线上PA段扫过的区域（阴影部分）的面积等于平行四边形APP′A′的面积，根据两点间的距离公式计算出OP=

22+22

=2

2

，则PP′=2OP=4

2

，再利用面积法得到

1

2

OP•AH=

1

2

×3×2，可计算出AH=

3 2

2

，然后根据平行四边形的面积公式计算即可．

解答：解：连结PA、P′A′，如图，作AH⊥PP′，
∵顶点为P（-2，2）的抛物线平移到顶点为P′（2，-2）的抛物线，
∴抛物线上PA段扫过的区域（阴影部分）的面积等于平行四边形APP′A′的面积，
∵点P的坐标为（-2，2），
∴OP=

22+22

=2

2

，PP′=2OP=4

2

，
∴S_△APO=

1

2

OP•AH=

1

2

×3×2，
∴AH=

6

2 2

=

3 2

2

，
∴平行四边形APP′A′的面积=

3 2

2

×4

2

=12，
即抛物线上PA段扫过的区域（阴影部分）的面积为12．
故答案为12．

点评：本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．