Question

如图所示，菱形ABCD的顶点A、B在x轴上，点A在点B的左侧，点D在y轴的正半轴上，∠BAD=60°，点A的坐标为（-2，0）．
（1）求C点的坐标；
（2）求直线AC的函数关系式；
（3）动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，按照A→D→C→B→A的顺序在菱形的边上匀速运动一周，设运动时间为t秒．求t为何值时，以点P为圆心、以1为半径的圆与对角线AC相切？

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：

分析：（1）在Rt△AOD中，根据OA的长以及∠BAD的正切值，即可求得OD的长，从而得到D点的坐标，然后由菱形的邻边相等和对边相互平行来求点C的坐标；
（2）根据点A、C的坐标，利用待定系数法可求得直线AD的解析式．
（3）由于点P沿菱形的四边匀速运动一周，那么本题要分作四种情况考虑：
在Rt△OAD中，易求得AD的长，也就得到了菱形的边长，而菱形的对角线平分一组对角，那么∠DAC=∠BAC=∠BCA=∠DCA=30°；
①当点P在线段AD上时，若⊙P与AC相切，由于∠PAC=30°，那么AP=2R（R为⊙P的半径），由此可求得AP的长，即可得到t的值；
②③④的解题思路与①完全相同，只不过在求t值时，方法略有不同．

解答：解：（1）∵点A的坐标为（-2，0），∠BAD=60°，∠AOD=90°，
∴OD=OA•tan60°=2

3

，AD=4，
∴点D的坐标为（0，2

3

），
又∵AD=CD，CD∥AB，
∴C（4，2

3

）；

（2）设直线AC的函数表达式为y=kx+b（k≠0），
∵A（-2，0），C（4，2

3

），
∴

0=-2k+b 2 3 =4k+b

，
解得

k= 3 3 b= 2 3 3

．
故直线AC的解析式为：y=

3

3

x+

2 3

3

；

（3））∵四边形ABCD是菱形，
∴∠DCB=∠BAD=60°，
∴∠1=∠2=∠3=∠4=30°，
AD=DC=CB=BA=4，（5分）
如图所示：
①点P在AD上与AC相切时，
连接P₁E，则P₁E⊥AC，P₁E=r，
∵∠1=30°，
∴AP₁=2r=2，
∴t₁=2．
②点P在DC上与AC相切时，
CP₂=2r=2，
∴AD+DP₂=6，
∴t₂=6．
③点P在BC上与AC相切时，
CP₃=2r=2，
∴AD+DC+CP₃=10，
∴t₃=10．
④点P在AB上与AC相切时，
AP₄=2r=2，
∴AD+DC+CB+BP₄=14，
∴t₄=14，
∴当t=2、6、10、14时，以点P为圆心、以1为半径的圆与对角线AC相切．

点评：此题主要考查了一次函数解析式的确定、解直角三角形、菱形的性质、切线的判定和性质等；需要注意的是（3）题中，点P是在菱形的四条边上运动，因此要将所有的情况都考虑到，以免漏解．