Question

四边形ABCD是正方形，△BEF是等腰直角三角形，∠BEF=90°，BE=EF，连接DF，G为DF的中点，连接EG，CG，EC．
（1）如图1，若点E在CB边的延长线上，直接写出EG与GC的位置关系及

EC

GC

的值；
（2）将图1中的△BEF绕点B顺时针旋转至图2所示位置，请问（1）中所得的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；
（3）将图1中的△BEF绕点B顺时针旋转α（0°＜α＜90°），若BE=1，AB=

2

，当E，F，D三点共线时，求DF的长及tan∠ABF的值．

Answer 1

分析：（1）过G作GH⊥EC于H，推出EF∥GH∥DC，求出H为EC中点，根据梯形的中位线求出EG=GC，GH=

1

2

（EF+DC）=

1

2

（EB+BC），推出GH=EH=BC，根据直角三角形的判定推出△EGC是等腰直角三角形即可；
（2）延长EG到H，使EG=GH，连接CH、EC，过E作BC的垂线EM，延长CD，证△EFG≌△HDG，推出DH=EF=BE，∠FEG=∠DHG，求出∠EBC=∠HDC，证出△EBC≌△HDC，推出CE=CH，∠BCE=∠DCH，求出△ECH是等腰直角三角形，即可得出答案；
（3）连接BD，求出cos∠DBE=

BE

BD

=

1

2

，推出∠DBE=60°，求出∠ABF=30°，解直角三角形求出即可．

解答：解：（1）EG⊥CG，

EC

GC

=

2

，
理由是：过G作GH⊥EC于H，
∵∠FEB=∠DCB=90°，
∴EF∥GH∥DC，
∵G为DF中点，
∴H为EC中点，
∴EG=GC，GH=

1

2

（EF+DC）=

1

2

（EB+BC），
即GH=EH=HC，
∴∠EGC=90°，
即△EGC是等腰直角三角形，
∴

EC

GC

=

2

；

（2）
解：结论还成立，
理由是：如图2，延长EG到H，使EG=GH，连接CH、EC，过E作BC的垂线EM，延长CD，
∵在△EFG和△HDG中

GF=GD ∠FGE=∠DGH EG=HG

∴△EFG≌△HDG（SAS），
∴DH=EF=BE，∠FEG=∠DHG，
∴EF∥DH，
∴∠1=∠2=90°-∠3=∠4，
∴∠EBC=180°-∠4=180°-∠1=∠HDC，
在△EBC和△HDC中

BE=DH ∠EBC=∠HDC BC=CD

∴△EBC≌△HDC．
∴CE=CH，∠BCE=∠DCH，
∴∠ECH=∠DCH+∠ECD=∠BCE+∠ECD=∠BCD=90°，
∴△ECH是等腰直角三角形，
∵G为EH的中点，
∴EG⊥GC，

EC

GC

=

2

，
即（1）中的结论仍然成立；

（3）
解：连接BD，
∵AB=

2

，正方形ABCD，
∴BD=2，
∴cos∠DBE=

BE

BD

=

1

2

，
∴∠DBE=60°，
∴∠ABE=∠DBE-∠ABD=15°，
∴∠ABF=45°-15°=30°，
∴tan∠ABF=

3

3

，
∴DE=

3

BE=

3

，
∴DF=DE-EF=

3

-1．

点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，梯形的中位线，等腰直角三角形的性质和判定等知识点的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，题目综合性比较强，难度偏大．