Question

将两块大小一样含30°角的直角三角板，叠放在一起，使得它们的斜边 AB重合，直角边不重合，已知AB=8，BC=AD=4，AC与BD相交于点E，连结CD．
（1）填空：如图1，AC= _____，BD=_____ ；四边形ABCD是_____ 梯形.
（2）请写出图1中所有的相似三角形（不含全等三角形）
（3）如图2，若以AB所在直线为x轴，过点A垂直于AB的直线为y轴建立如图2的平面直角坐标系，保持ΔABD不动，将ΔABC向x轴的正方向平移到ΔFGH的位置，FH与BD相交于点P，设AF=t，ΔFBP面积为S，求S与t之间的函数关系式，并写出t的取值值范围.

Answer 1

解：（1），， 等腰； （2）共有9对相似三角形 　 ①△DCE、△ABE与△ACD或△BDC两两相似， 分别是：△DCE∽△ABE，△DCE∽△ACD，△DCE∽△BDC，△ABE∽△ACD，△ABE∽△BDC；(有5对) ②△ABD∽△EAD，△ABD∽△EBC；(有2对) ③△BAC∽△EAD，△BAC∽△EBC；(有2对) 所以，一共有9对相似三角形 （3）由题意知，FP∥AE， ∴ ∠1=∠PFB， 又∵ ∠1=∠2=30°， ∴ ∠PFB=∠2=30° ∴ FP=BP 过点P作PK⊥FB于点K，则. ∵ AF=t，AB=8， ∴ FB=8-t， 在Rt△BPK中， ∴ △FBP的面积， ∴ S与t之间的函数关系式为： ，或.  t的取值范围为：.