题目内容
【题目】如图，抛物线y＝
x2+bx+c与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，﹣5）．有一宽度为1，长度足够长的矩形（阴影部分）沿x轴方向平移，与y轴平行的一组对边交抛物线于点P和点Q，交直线AC于点M和点N，交x轴于点E和点F．
（1）求抛物线的解析式及点A的坐标；
（2）当点M和N都在线段AC上时，连接MF，如果sin∠AMF＝
，求点Q的坐标；
（3）在矩形的平移过程中，是否存在以点P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y＝
x2+
x﹣5，A（﹣5，0）；（2）Q坐标（﹣4，﹣
）；（3）存在，点M的坐标为（﹣2，﹣3）或（﹣2+
，﹣3﹣）或（﹣2﹣，﹣3+）．
【解析】
（1）将点B的坐标、点C的坐标分别代入函数解析式求得b、c的值，结合抛物线解析式求得点A的坐标；
（2）作FG⊥AC于G，设点F坐标（m，0），根据sin∠AMF=
，列出方程即可解决问题．
（3））①当MN是对角线时，设点F（m，0），由QN=PM，列出方程即可解决问题．②当MN为边时，设点Q（m，m2+m-5）则点P（m+1，m2+m-6），代入抛物线解析式，解方程即可．
（1）∵抛物线上的点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，﹣5）
∴将其代入y═x2+bx+c，得
，
解得b＝，c＝﹣5．
∴抛物线的解析式为y＝x2+x﹣5．
令y=0可得x=3或-5
∴点A的坐标是（﹣5，0）．
（2）作FG⊥AC于G，设点F坐标（m，0），
则AF＝m+5，AE＝EM＝m+6，FG＝
（m+5），FM＝
，
∵sin∠AMF＝
，
∴，
∴
，
整理得到2m2+19m+44＝0，
∴（m+4）（2m+11）＝0，
∴m＝﹣4或﹣5.5（舍弃），
∴点Q坐标（﹣4，﹣）．
（3）①当MN是对角线时，点M在y轴的右侧，设点F（m，0），
∵直线AC解析式为y＝﹣x﹣5，
∴点N（m，﹣m﹣5），点M（m+1，﹣m﹣6），
∵QN＝PM，
∴﹣m﹣5﹣（m2+m﹣5）＝[（m+1）2+（m+1）﹣5]﹣（﹣m﹣6），
解得m＝﹣3+或﹣3﹣（舍弃），
此时M（﹣2+，﹣3﹣），
当MN是对角线时，点N在点A的左侧时，设点F（m，0）．
∴（m2+m﹣5）﹣（﹣m﹣5）＝（﹣m﹣6）﹣[（m+1）2+（m+1）﹣5]，
解得m＝﹣3﹣或﹣3+（舍弃），
此时M（﹣2﹣，﹣3+）；
②当MN为边时，设点Q（m，m2+m﹣5）则点P（m+1，m2+m﹣6），
∵NQ＝PM，
∴m2+m﹣6＝（m+1）2+（m+1）﹣5
解得m＝﹣3．
∴点M坐标（﹣2，﹣3），
综上所述，以点P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，点M的坐标为（﹣2，﹣3）或（﹣2+，﹣3﹣）或（﹣2﹣，﹣3+）．
