Question

【题目】数学实验室：

点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB=|a﹣b|．

利用数形结合思想回答下列问题：

①数轴上表示2和5两点之间的距离是 ，数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是 ．

②数轴上表示x和﹣2的两点之间的距离表示为 ．数轴上表示x和5的两点之间的距离表示为 ．

③若x表示一个有理数，则|x﹣1|+|x+3|的最小值= ．

④若x表示一个有理数，且|x+3|+|x﹣2|=5，则满足条件的所有整数x的是 ．

⑤若x表示一个有理数，当x为 ，式子|x+2|+|x﹣3|+|x﹣5|有最小值为 ．

Answer 1

【答案】①3，4；

②|x+2|，|5﹣x|；

③4；

④﹣3或2；

⑤3，7．

【解析】

试题分析：①②在数轴上A、B两点之间的距离AB=|a﹣b|，依此即可求解；

④根据绝对值的性质去掉绝对值号，然后计算即可得解；

③首先将原式变形为y=|x﹣1|+|x+3|，然后分别从当x≥1时，当﹣3≤x＜1时，当x＜﹣3时去分析，根据一次函数的增减性，即可求得y的最小值；

④当x＜﹣3时，当﹣3≤x≤2时，当x＞2时去分析，根据一次函数的增减性，即可求得答案；

⑤当x≥5时，当3≤x＜5时，当﹣2≤x＜3时，当x＜﹣2时去分析，根据一次函数的增减性，即可求得y的最小值．

解：①数轴上表示2和5两点之间的距离是5﹣2=3，数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是1﹣（﹣3）=4，

故答案为：3，4；

②数轴上表示x和﹣2的两点之间的距离表示为|x﹣（﹣2）|=|x+2|，数轴上表示x和5的两点之间的距离表示为|5﹣x|，

故答案为：|x+2|，|5﹣x|；

③当x＜﹣3时，|x﹣1|+|x+3|=1﹣x﹣x﹣3=﹣2x﹣2，

当﹣3≤x≤1时，|x﹣1|+|x+3|=1﹣x+x+3=4，

当x＞1时，|x﹣1|+|x+3|=x﹣1+x+3=2x+2，

在数轴上|x﹣1|+|x+3|的几何意义是：表示有理数x的点到﹣3及到1的距离之和，所以当﹣3≤x≤1时，它的最小值为4，

故答案为：4；

④当x＜﹣3时，|x+3|+|x﹣2|=﹣x﹣3+2﹣x=﹣2x﹣1=5，

解得：x=﹣3，

此时不符合x＜﹣3，舍去；

当﹣3≤x≤2时，|x+3|+|x﹣2|=x+3+2﹣x=5，

此时x=﹣3或x=2；

当x＞2时，|x+3|+|x﹣2|=x+3+x﹣2=2x+1=5，

解得：x=2，

此时不符合x＞2，舍去；

故答案为：﹣3或2；

⑤∵设y=|x+2|+|x﹣3|+|x﹣5|，

i、当x≥5时，y=x+2+x﹣3+x﹣5=3x﹣6，

∴当x=5时，y最小为：3x﹣6=3×5﹣6=9；

ii、当3≤x＜5时，y=x+2+x﹣3+5﹣x=x+4，

∴当x=3时，y最小为7；

iii、当﹣2≤x＜3时，y=x+2+3﹣x+5﹣x=10﹣x，

∴此时y最小接近7；

iiii、当x＜﹣2时，y=﹣x﹣2+3﹣x+5﹣x=6﹣x，

∴此时y最小接近8；

∴y的最小值为7．

故答案为：3，7．