Question

已知：AC是⊙O的直径，PA⊥AC，连结OP，弦CB//OP，直线PB交直线AC于点D，BD=2PA．

    （1）证明：直线PB是⊙O的切线；

    （2）探索线段PO与线段BC之间的数量关系，并加以证明；

    （3）求sin∠OPA的值．

Answer 1

连结OB．∵BC//OP，

∴∠BCO=∠POA，∠CBO=∠POB．

又∵OC=OB，∴∠BCO=∠CBO，

∴∠POB=∠POA．-----------------------------------------------------------------1分

又∵PO=PO，OB=OA，

∴△POB≌△POA．

∴∠PBO=∠PAO=90°．

∴PB是⊙O的切线．-----------------------------------------------------------2分

（2）2PO=3BC（写PO=BC亦可）．

证明：∵△POB≌△POA，∴PB=PA．

∵BD=2PA，∴BD=2PB．-----------------------------------------------3分

∵BC//OP，∴△DBC∽△DPO．

∴．∴2PO=3BC．----------------------------------5分

注：开始没有写出判断结论，正确证明也给满分．

（3）∵△DBC∽△DPO，∴，即DC=OD．∴DC=2OC．----6分

设OA=x，PA=y．则OD=3x，DB=2y．

在Rt△OBD中，由勾股定理，得(3x)²= x²+(2y)²．即2 x²= y²．

∵x>0，y>0，∴y=x．OP=．------------------------------------------7分

∴sin∠OPA=．-------------------------------------------------------------8分