Question

已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，BE与AD交于点F，连接DE．
求证：（1）△DCE是等腰三角形；
（2）AB•FE=AF•BD．

Answer 1

分析：（1）根据“圆内接四边形的外角等于内对角”这一性质可得∠1=∠ABC，而AB=AC，即∠ABC=∠C，可得∠1=∠C，所以△DCE是等腰三角形．
（2）由结论AB•FE=AF•BD探求，即要证明

AB

AF

=

BD

FE

，由此，只需要证明△ABD∽△AFE，再寻找两个三角形相似的条件即可．

解答：证明：（1）∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C．
又∵∠1=∠ABC，
∴∠1=∠C．
∴△DEC是等腰三角形．

（2）在△ABD和△AFE中，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠2=∠3=90°．
∴AD⊥BC．
又AB=AC，
∴∠4=∠5．
又∠2=∠3=90°，
∴△ABD∽△AFE．
∴

AB

AF

=

BD

FE

．
∴AB•EF=AF•BD．

点评：本题重点考查了圆内接四边形的外角性质、同弧所对的圆周角相等、直径所对的圆周角为直角的知识，本题是一道探究性的题目．