题目内容
如图，已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，AB=8，CD=10．（1）求梯形ABCD的面积S；
（2）动点P从点B出发，以2cm/s的速度、沿B→A→D→C方向，向点C运动；动点Q从点C出发，以2cm/s的速度、沿C→D→A方向，向点A运动．若P、Q两点同时出发，当其中一点到达目的地时整个运动随之结束，设运动时间为t秒．
问：①当点P在B→A上运动时，是否存在这样的t，使得直线PQ将梯形ABCD的周长平分？若存在，请求出t的值，并判断此时PQ是否平分梯形ABCD的面积；若不存在，请说明理由；
②在运动过程中，是否存在这样的t，使得以P、D、Q为顶点的三角形恰好是以DQ为一腰的等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】分析：（1）求面积要先求梯形的高，在直角三角形中用勾股定理进行求解，得出底边后即可求出梯形的面积．
（2）①PQ平分梯形的周长，那么AD+DQ+AP=BC+CQ+BP，已知了AD，BC的长，可以用t来表示出AP，BP，CQ，QD的长，那么可根据上面的等量关系求出t的值，再求出梯形面积即可得出答案；
②分三种情况进行讨论：
一、当P在AB上时，即0≤t≤4，等腰△PDQ以DQ为腰，因此DQ=DP或DQ=PQ，可以通过构建直角三角形来表示出DP，PQ的长，然后根据得出的等量关系来求t的值．
二、当P在AD上时，即4＜t＜5，由于BA+AD=CD=10，因此DP=DQ=10-2t，因此DP，DQ恒相等．
三、当P在CD上时，即5＜t≤6．综合三种情况可得出等腰三角形以DQ为腰时，t的取值．
解答：
解：（1）过D作DH∥AB交BC于H点，
∵AD∥BH，DH∥AB，
∴四边形ABHD是平行四边形．
∴DH=AB=8；BH=AD=2．
∵CD=10，
∴HC=
=6，
∴BC=BH+CH=8，
∴SABCD=
（AD+BC）AB=
×（2+8）×8=40．
（2）①∵BP=CQ=2t，
∴AP=8-2t，DQ=10-2t，
∵AP+AD+DQ=PB+BC+CQ，
∴8-2t+2+10-2t=2t+8+2t．
∴t=
＜4．
∴当t=
秒时，PQ将梯形ABCD周长平分．
QC=3，PB=3，
∵QE∥DH，
∴
=
=
，
∴
=
=
，
∴QE=
，EC=
，
BE=8-
=
，
四边形PBCQ面积=S梯形QEBP+S△QEC=
（PB+QE）×BE+
QE×EC，
=
×（
+3）×
+
×
×
，
=
，
=18.9，
所以PQ不平分梯形ABCD的面积．
②第一种情况：当0≤t≤4时．过Q点作QE⊥BC，QH⊥AB，垂足为E、H．
∵AP=8-2t，AD=2，
∴PD=
=
．
∵CE=
t，QE=
t，
∴QH=BE=8-
t，BH=QE=
t．
∴PH=2t-
t=
t．
∴PQ=
=
=
，
DQ=10-2t．
Ⅰ：DQ=DP，10-2t=
，
解得t=4秒．
Ⅱ：DQ=PQ，10-2t=
，
化简得：3t2-26t+45=0
解得：t=
，t=
＞4（不合题意舍去），
∴t=
，
∴第二种情况：4≤t＜5时．DP=DQ=10-2t．
∴当4≤t＜5时，以DQ为腰的等腰△DPQ恒成立．
第三种情况：5＜t≤6时．DP=DQ=2t-10．
∴当5＜t≤6时，以DQ为腰的等腰△DPQ恒成立．
综上所述，t=
或4，4≤t＜5或5＜t≤6时，以DQ为腰的等腰△DPQ成立．
点评：此题主要考查了梯形的性质以及相似三角形的判定和性质等知识点，要注意（3）中要根据P，Q的不同位置，进行分类讨论，不要漏解．
（2）①PQ平分梯形的周长，那么AD+DQ+AP=BC+CQ+BP，已知了AD，BC的长，可以用t来表示出AP，BP，CQ，QD的长，那么可根据上面的等量关系求出t的值，再求出梯形面积即可得出答案；
②分三种情况进行讨论：
一、当P在AB上时，即0≤t≤4，等腰△PDQ以DQ为腰，因此DQ=DP或DQ=PQ，可以通过构建直角三角形来表示出DP，PQ的长，然后根据得出的等量关系来求t的值．
二、当P在AD上时，即4＜t＜5，由于BA+AD=CD=10，因此DP=DQ=10-2t，因此DP，DQ恒相等．
三、当P在CD上时，即5＜t≤6．综合三种情况可得出等腰三角形以DQ为腰时，t的取值．
解答：
解：（1）过D作DH∥AB交BC于H点，∵AD∥BH，DH∥AB，
∴四边形ABHD是平行四边形．
∴DH=AB=8；BH=AD=2．
∵CD=10，
∴HC=
=6，∴BC=BH+CH=8，
∴SABCD=
（AD+BC）AB=
×（2+8）×8=40．（2）①∵BP=CQ=2t，
∴AP=8-2t，DQ=10-2t，
∵AP+AD+DQ=PB+BC+CQ，
∴8-2t+2+10-2t=2t+8+2t．
∴t=
＜4．∴当t=
秒时，PQ将梯形ABCD周长平分．QC=3，PB=3，
∵QE∥DH，
∴
=
=
，∴
=
=
，∴QE=
，EC=
，BE=8-
=
，四边形PBCQ面积=S梯形QEBP+S△QEC=
（PB+QE）×BE+
QE×EC，=
×（
+3）×
+
×
×
，=
，=18.9，
所以PQ不平分梯形ABCD的面积．
②第一种情况：当0≤t≤4时．过Q点作QE⊥BC，QH⊥AB，垂足为E、H．
∵AP=8-2t，AD=2，
∴PD=
=
．∵CE=
t，QE=
t，∴QH=BE=8-
t，BH=QE=
t．∴PH=2t-
t=
t．∴PQ=
=
=
，DQ=10-2t．
Ⅰ：DQ=DP，10-2t=
，解得t=4秒．
Ⅱ：DQ=PQ，10-2t=
，化简得：3t2-26t+45=0
解得：t=
，t=
＞4（不合题意舍去），∴t=
，∴第二种情况：4≤t＜5时．DP=DQ=10-2t．
∴当4≤t＜5时，以DQ为腰的等腰△DPQ恒成立．
第三种情况：5＜t≤6时．DP=DQ=2t-10．
∴当5＜t≤6时，以DQ为腰的等腰△DPQ恒成立．
综上所述，t=
或4，4≤t＜5或5＜t≤6时，以DQ为腰的等腰△DPQ成立．点评：此题主要考查了梯形的性质以及相似三角形的判定和性质等知识点，要注意（3）中要根据P，Q的不同位置，进行分类讨论，不要漏解．
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