Question

【题目】如图，等腰三角形 ABC 中，AC＝BC＝13，AB＝10．以 BC 为直径作⊙O 交 AB 于点 D，交 AC 于点 G，DF⊥AC，垂足为 F，交 CB 的延长线于点 E．

(1)求证：直线 EF 是⊙O 的切线；

(2)求 sin∠E 的值．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】

（1）求证直线EF是⊙O的切线，只要连接OD证明OD⊥EF即可；

（2）根据∠E＝∠CBG，可以把求sin∠E的值得问题转化为求sin∠CBG，进而转化为求Rt△BCG中，两边的比的问题．

（1）证明：方法1：连接OD、CD．

∵BC是直径，

∴CD⊥AB．

∵AC＝BC．

∴D是AB的中点．

∵O为CB的中点，

∴OD∥AC．

∵DF⊥AC，

∴OD⊥EF．

∴EF是O的切线．

方法2：∵AC＝BC，

∴∠A＝∠ABC，

∵OB＝OD，

∴∠DBO＝∠BDO，

∵∠A＋∠ADF＝90°

∴∠EDB＋∠BDO＝∠A＋∠ADF＝90°．

即∠EDO＝90°，

∴OD⊥ED

∴EF是O的切线．

（2）解：连BG．

∵BC是直径，

∴∠BDC＝90°．

∵AC＝BC＝13，AB＝10

∴AD=AB=5

∴CD＝

∵ABCD＝2S△ABC＝ACBG，

∴BG＝＝．

∴CG＝．

∵BG⊥AC，DF⊥AC，

∴BG∥EF．

∴∠E＝∠CBG，

∴sin∠E＝sin∠CBG＝＝．