Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，CD平分∠ACB交⊙O于点D．

（1）AD与BD相等吗？为什么？

（2）若AB=10，AC=6，求CD的长；

（3）若P为⊙O上异于A、B、C、D的点，试探究PA、PD、PB之间的数量关系．

Answer 1

【答案】（1）AD=BD，理由见解析；

（2）CD=；

（3）①当点P在上时， PA+PB=PD；②当点P在上时， PA﹣PB=PD．③当点P在上时， PB﹣PA=PD．

【解析】试题分析：（1）结论：AD=BD．只要证明即可．

（2）如图2中，作DF⊥CA，垂足F在CA的延长线上，作DG⊥CB于点G，连接DA，DB．由Rt△AFD≌Rt△BGD（HL），推出AF=BG，由Rt△CDF≌Rt△CDG（HL），推出CF=CG，由△CDF是等腰直角三角形，得CD=CF，求出CF即可解决问题．

（3）分三种情形讨论①如图3中，当点P在上时，结论：PA+PB=PD；②如图4中，当点P在上时，结论：PA-PB=PD；③如图5中，当点P在上时，结论：PB-PA=PD．

试题解析：（1）结论：AD=BD．

理由：如图1中，

∵CD平分∠ACB，

∴∠ACD=∠BCD

∴DF=DG，

，

∴DA=DB．

（2）如图2中，作DF⊥CA，垂足F在CA的延长线上，作DG⊥CB于点G，连接DA，DB．

∵∠AFD=∠BGD=90°，

在Rt△ADF和Rt△BDG中， ，

∴Rt△AFD≌Rt△BGD（HL），

∴AF=BG．

同理：Rt△CDF≌Rt△CDG（HL），

∴CF=CG．

∵AB是直径，

∴∠ACB=90°，

∵AC=6，AB=10，

∴BC==8，

∴6+AF=8﹣AF，

∴AF=1，

∴CF=7，

∵CD平分∠ACB，

∴∠ACD=45°，

∵△CDF是等腰直角三角形，

∴CD=，CF=7．

（3）①如图3中，当点P在上时，结论：PA+PB=PD．

理由：将△PDB绕点D逆时针旋转90°得到△FAD，

∵∠PAB+∠PBD=180°，∠FAD=∠PBD，

∴∠FAD+∠PAD=180°，

∴P、A、F共线，

∵∠F=∠DPB=∠BAD=45°，

∴△PDF是等腰直角三角形，

∴PF=PD，

∵PB=AF，

∴PF=PA+AF=PA+PB=PD．，

∴PA+PB=PD．

②如图4中，当点P在上时，结论：PA﹣PB=PD．

理由：在AP上取一点F，使得AF=PB，

在△FAD和△PBD中， ，

∴△FAD≌△PBD，

∴DF=DP，∠ADF=∠BDP，

∠FDP=∠ADB=90°，

∴△FDP是等腰直角三角形，

∴PF=PD，

∴PA﹣PB=PA﹣AF=PF=PD，

∴PA﹣PB=PD．

③如图5中，当点P在上时，结论：PB﹣PA=PD．（证明方法类似②）．