Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx+2（a≠0）与x轴交于A（-1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，连接BC．

（1）求该抛物线的解析式，并写出它的对称轴；

（2）点D为抛物线对称轴上一点，连接CD、BD，若∠DCB=∠CBD，求点D的坐标；

（3）已知F（1，1），若E（x，y）是抛物线上一个动点（其中1＜x＜2），连接CE、CF、EF，求△CEF面积的最大值及此时点E的坐标．

（4）若点N为抛物线对称轴上一点，抛物线上是否存在点M，使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=-x2+x+2；∴对称轴x=1；（2）D（1，）；（3）最大值是，此时E（，）；（4）M（2，2）或M（4，-）或M（-2，-）.

【解析】

（1）将点A（-1，0），B（3，0）代入y=ax2+bx+2即可；

（2）过点D作DG⊥y轴于G，作DH⊥x轴于H，设点D（1，y），在Rt△CGD中，CD2=CG2+GD2=（2-y）2+1，在Rt△BHD中，BD2=BH2+HD2=4+y2，可以证明CD=BD，即可求y的值；

（3）过点E作EQ⊥y轴于点Q，过点F作直线FR⊥y轴于R，过点E作FP⊥FR于P，证明四边形QRPE是矩形，根据S△CEF=S矩形QRPE-S△CRF-S△EFP，代入边即可；

（4）根据平行四边形对边平行且相等的性质可以得到存在点M使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形，点M（2，2）或M（4，-）或M（-2，-）.

（1）将点A（-1，0），B（3，0）代入y=ax2+bx+2，

可得a=-，b=，

∴y=-x2+x+2；

∴对称轴x=1；

（2）如图，过点D作DG⊥y轴于G，作DH⊥x轴于H，

设点D（1，y），

∵C（0，2），B（3，0），

∴在Rt△CGD中，CD2=CG2+GD2=（2-y）2+1，

∴在Rt△BHD中，BD2=BH2+HD2=4+y2，

在△BCD中，∵∠DCB=∠CBD，

∴CD=BD，

∴CD2=BD2，

∴（2-y）2+1=4+y2，

∴y=，

∴D（1，）；

（3）如图，过点E作EQ⊥y轴于点Q，过点F作直线FR⊥y轴于R，过点E作FP⊥FR于P，

∴∠EQR=∠QRP=∠RPE=90°，

∴四边形QRPE是矩形，

∵S△CEF=S矩形QRPE-S△CRF-S△EFP-S△CQE

∵E（x，y），C（0，2），F（1，1），

∴S△CEF=EQQR-×EQQC-CRRF-FPEP，

∴S△CEF=x（y-1）-x（y-2）-×1×1-（x-1）（y-1），

∵y=-x2+x+2，

∴S△CEF=-x2+x，

∴当x=时，面积有最大值是，

此时E（，）；

（4）存在点M使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形，

设N（1，n），M（x，y），

①四边形CMNB是平行四边形时，

，

∴x=-2，

∴M（-2，-）；

②四边形CNBM时平行四边形时，

，

∴x=2，

∴M（2，2）；

③四边形CNNB时平行四边形时，

，

∴x=4，

∴M（4，-）；

综上所述：M（2，2）或M（4，-）或M（-2，-）.