Question

如图，⊙O的半径OA⊥弦BC，且∠AOB=60°，D是⊙O上另一点，AD与BC相交于点E，若DC=DE，则正确结论的序号是________
①；    ②∠ACD=105°；    ③AB＜BE；    ④△AEC∽△ACD．

Answer 1

①、②、④
分析：根据垂径定理、圆周角与圆心角的关系，判断出相关角的关系及具体度数，即可解答．
解答：①半径OA⊥弦BC，根据垂径定理，=，故本选项正确；
②∵∠AOB=60°，=，∴∠ACB=∠CDA=30°，
又∵DC=DE，∴∠DCE==75°，
故∠ACD=30°+75°=105°，故本选项正确；
③∵∠BAD=∠DCB，∠DEB=∠BEA，
又∵∠BEA=∠CEB，
∴∠BAD=∠BEA，
∴AB=BE，故本选项错误；
④∵∠ACB=30°，∠ADC=30°，
∴∠CAE=∠DAC，
∴△AEC∽△ACD，故本选项正确．
故答案为：①②④．
点评：本题考查垂弦定理、圆心角、圆周角的应用能力，是一道综合性题目，难度不大，得出∠AOB=∠AOC是解题的关键．