Question

【题目】如图，抛物线y=﹣x2+bx+c交x轴于点A（﹣3，0）和点B，交y轴于点C（0，3）．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）若点P在抛物线上，且S△AOP=4SBOC，求点P的坐标；

（3）如图b，设点Q是线段AC上的一动点，作DQ⊥x轴，交抛物线于点D，求线段DQ长度的最大值．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2﹣2x+3（2）（﹣1，4）或（﹣1+，﹣4）或（﹣1﹣，﹣4）；（3）．

【解析】

试题分析：（1）把A（﹣3，0），C（0，3）代入y=﹣x2+bx+c，然后解方程组即可；（2）先求出点B的坐标（1,0），然后利用S△AOP=4S△BOC，求出点P的横坐标，代入y=﹣x2﹣2x+3即可求出纵坐标；（3）用待定系数法求成直线AC的解析式y=x+3，设出Q点坐标为（x，x+3），（﹣3≤x≤0），则D点坐标为（x，﹣x2﹣2x+3），然后用x表示出线段DQ长度，利用配方法可确定其最大值．

试题解析：（1）把A（﹣3，0），C（0，3）代入y=﹣x2+bx+c，得．

解得．

故该抛物线的解析式为：y=﹣x2﹣2x+3

（2）由（1）知，该抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3，则易得B（1，0）．

∵S△AOP=4S△BOC，

∴×3×|﹣x2﹣2x+3|=4××1×3．

整理，得（x+1）2=0或x2+2x﹣7=0，

解得x=﹣1或x=﹣1±．

则符合条件的点P的坐标为：（﹣1，4）或（﹣1+，﹣4）或（﹣1﹣，﹣4）；

（3）设直线AC的解析式为y=kx+t，将A（﹣3，0），C（0，3）代入，

得，

解得．

即直线AC的解析式为y=x+3．

设Q点坐标为（x，x+3），（﹣3≤x≤0），则D点坐标为（x，﹣x2﹣2x+3），

QD=（﹣x2﹣2x+3）﹣（x+3）=﹣x2﹣3x=﹣（x+）2+，

∴当x=﹣时，QD有最大值．