题目内容
已知a，b，c为正数，满足如下两个条件：a+b+c=32 ①
| b+c-a |
| bc |
| c+a-b |
| ca |
| a+b-c |
| ab |
| 1 |
| 4 |
是否存在以
| a |
| b |
| c |
分析：解法一：根据已知，将两式相乘，运用平方差公式、完全平方式、提取公因式将乘积分解为
(c+a-b)(c-a+b)=0．再根据每个因式都可能等于零，及勾股定理，判断三角形为直角三角形．最大角度也就是90°
解法二：将①式变形代入，求出a、b、c的值，再利用勾股定理，判断三角形的为直角三角形．最大角度也就是90°
| (b-c+a) |
| abc |
解法二：将①式变形代入，求出a、b、c的值，再利用勾股定理，判断三角形的为直角三角形．最大角度也就是90°
解答：解法1：将①②两式相乘，得(
+
+
)(a+b+c)=8，
即
+
+
=8，
即
-4+
-4+
=0，
即
+
+
=0，
即
+
+
=0，
即
[a(b-c-a)-b(c-a+b)+c(a+b+c)]=0，
即
[2ab-a2-b2+c2]=0，
即
[c2-(a-b)2]=0，
即
(c+a-b)(c-a+b)=0，
所以b-c+a=0或c+a-b=0或c-a+b=0，
即b+a=c或c+a=b或c+b=a．
因此，以
，
，
为三边长可构成一个直角三角形，它的最大内角为90°．
解法2：结合①式，由②式可得
+
+
=
，
变形，得1024-2(a2+b2+c2)=
abc③
又由①式得（a+b+c）2=1024，即a2+b2+c2=1024-2（ab+bc+ca），
代入③式，得1024-2[1024-2(ab+bc+ca)]=
abc，
即abc=16（ab+bc+ca）-4096．（a-16）（b-16）（c-16）=abc-16（ab+bc+ca）+256（a+b+c）-163=-4096+256×32-163=0，
所以a=16或b=16或c=16．
结合①式可得b+a=c或c+a=b或c+b=a．
因此，以
，
，
为三边长可构成一个直角三角形，它的最大内角为90°．
| b+c-a |
| bc |
| c+a-b |
| ca |
| a+b-c |
| ab |
即
| (b+c)2-a2 |
| bc |
| (c+a)2-b2 |
| ca |
| (a+b)2-c2 |
| ab |
即
| (b+c)2-a2 |
| bc |
| (c+a)2-b2 |
| ca |
| (a+b)2-c2 |
| ab |
即
| (b-c)2-a2 |
| bc |
| (c-a)2-b2 |
| ca |
| (a+b)2-c2 |
| ab |
即
| (b-c+a)(b-c-a) |
| bc |
| (c-a+b)(c-a-b) |
| ca |
| (a+b+c)(a+b-c) |
| ab |
即
| (b-c+a) |
| abc |
即
| (b-c+a) |
| abc |
即
| (b-c+a) |
| abc |
即
| (b-c+a) |
| abc |
所以b-c+a=0或c+a-b=0或c-a+b=0，
即b+a=c或c+a=b或c+b=a．
因此，以
| a |
| b |
| c |
解法2：结合①式，由②式可得
| 32-2a |
| bc |
| 32-2b |
| ca |
| 32-2c |
| ab |
| 1 |
| 4 |
变形，得1024-2(a2+b2+c2)=
| 1 |
| 4 |
又由①式得（a+b+c）2=1024，即a2+b2+c2=1024-2（ab+bc+ca），
代入③式，得1024-2[1024-2(ab+bc+ca)]=
| 1 |
| 4 |
即abc=16（ab+bc+ca）-4096．（a-16）（b-16）（c-16）=abc-16（ab+bc+ca）+256（a+b+c）-163=-4096+256×32-163=0，
所以a=16或b=16或c=16．
结合①式可得b+a=c或c+a=b或c+b=a．
因此，以
| a |
| b |
| c |
点评：本题考查因式分解的应用．解决本题的关键是运用因式分解、等式变形求出a、b、c三角形三边的关系．
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