Question

如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，1）、B（3，5），以AB为边作如图所示的正方形ABCD，顶点在坐标原点的抛物线恰好经过点D，P为抛物线上的一动点．

（1）直接写出点D的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）求点P到点A的距离与点P到x轴的距离之差；
（4）当点P位于何处时，△APB的周长有最小值，
并求出△APB的周长的最小值．

Answer 1

（1）D（－4，4）…………………………………………… (2分)
（2）设抛物线的解析式是y＝ax² …………………………………………… (3分)
过点D（－4，4），a＝，∴y＝x² ………………………………… (4分)
（3）设点P（t，t²），作PH⊥x轴于H，则PH＝t²…………………… (5分)
另PA＝＝t²＋1……………………………………… (6分)
故点P到点A的距离与点P到x轴的距离之差为1. ………………… (7分)
（4）即使PB＋PA最小，而PA＝PH＋1，…………………………………(8分)
作BE⊥x轴于E，与抛物线的交点即为点P ………………………… (9分)
此时P（3，）………………………………………………………… (10分)
则PB＋PA＝PB＋PH＋1＝BE＋1＝5＋1＝6
△APB的周长的最小值＝5＋6＝11.……………………………………(11分)解析:
(1)利用正方形邻边垂直且相等可得出D点坐标；
（2）由于抛物线的对称轴是y轴，故抛物线的解析式是设为y＝ax²，然后把D点坐标代入求得；
（3）利用勾股定理两线段的长度，然后求它们的差；
（4）利用（3）得出的结论得出P点的坐标以及周长。