Question

观察：
1³+2³=9=

1

4

×2²×3²
1³+2³+3³=36=

1

4

×3²×4²
1³+2³+3³+4³=100=

1

4

×4²×5²
…，
①若n为正整数，猜想1³+2³+3³+…+n³=

 

；
②利用上题的结论来比较1³+2³+3³+…+100³与（-5000）²的大小．

Answer 1

分析：1³+2³=9=

1

4

×2²×3²=

1

4

×2²×（2+1）²
1³+2³+3³=36=

1

4

×3²×4²=

1

4

×3²×（3+1）²
1³+2³+3³+4³=100=

1

4

×4²×5²=

1

4

×3²×（3+1）²
…
因此当有n项相加时，1³+2³+3³+…+n³=

1

4

n²（n+1）²，由此可求出①②的答案．

解答：解：（1）

1

4

n²（n+1）²；

（2）根据规律可知1³+2³+3³+…+100³=

1

4

×100²×101²=5000×

101×101

2

＞5000×5000
因此1³+2³+3³+…+100³＞（-5000）²．

点评：本题要先从简单的例子入手得出一般化的结论，然后根据得出的规律去求特定的值．