Question

已知抛物线y=ax²+bx+c（0＜2a＜b）的顶点为P（x₀，y₀），点A（1，y_A）、B（0，y_B）、C（－1，y_C）在该抛物线上．

（Ⅰ）当a=1，b=4，c=10时，①求顶点P的坐标；②求-的值；

（Ⅱ）当y₀≥0恒成立时，求的最小值．

 

Answer 1

Ⅰ）若a=1，b=4，c=10，此时抛物线的解析式为y=x²+4x+10。

       ①∵y=x²+4x+10=（x+2）²+6，∴抛物线的顶点坐标为P（－2，6）。

②∵点A（1，y_A）、B（0，y_B）、C（－1，y_C）在抛物线y=x²+4x+10上，

∴y_A=15，y_B=10，y_C=7。∴。

（Ⅱ）由0＜2a＜b，得。

由题意，如图过点A作AA₁⊥x轴于点A₁，

则AA₁=y_A，OA₁=1。

连接BC，过点C作CD⊥y轴于点D，

则BD=y_B－y_C，CD=1。

过点A作AF∥BC，交抛物线于点E（x₁，y_E），交x轴于点F（x₂，0）。

则∠FAA₁=∠CBD。∴Rt△AFA₁∽Rt△BCD。

∴ ，即。

过点E作EG⊥AA₁于点G，易得△AEG∽△BCD。

∴，即。

∵点A（1，y_A）、B（0，y_B）、C（－1，y_C）、E（x₁，y_E）在抛物线y=ax²+bx+c上，

∴y_A=a+b+c，y_B=c，y_C=a－b+c，y_E=ax₁²+bx₁+c，

∴，化简，得x₁²＋x₁－2=0，

解得x₁=－2（x₁=1舍去）。

∵y₀≥0恒成立，根据题意，有x₂≤x₁＜－1。

则1－x₂≥1－x₁，即1－x₂≥3。

∴的最小值为3。

【解析】（Ⅰ）将a=1，b=4，c=10代入解析式，即可得到二次函数解析式。

①将二次函数化为顶点式，即可得到得到抛物线顶点坐标。

②将A（1，y_A）、B（0，y_B）、C（－1，y_C）分别代入解析式，即可求出y_A、y_B、y_C的值，然后计算的值即可。

（Ⅱ）根据0＜2a＜b，求出，作出图中辅助线：点A作AA1⊥x轴于点A1，则AA₁=y_A，OA₁=1．连接BC，过点C作CD⊥y轴于点D，则BD=y_B－y_C，CD=1．过点A作AF∥BC，交抛物线于点E（x₁，y_E），交x轴于点F（x₂，0）。证出Rt△AFA₁∽Rt△BCD，得到