Question

如图，在矩形ABCD中，AB=m（m是大于0的常数），BC=8，E为线段BC上的动点（不与B、C重合）．连接DE，作EF⊥DE，EF与射线BA交于点F，设CE=x，BF=y．
（1）求y关于x的函数关系式；
（2）若m=8，求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？
（3）若y=

12

m

，要使△DEF为等腰三角形，m的值应为多少？

Answer 1

分析：（1）利用互余关系找角相等，证明△BEF∽△CDE，根据对应边的比相等求函数关系式；
（2）把m的值代入函数关系式，再求二次函数的最大值；
（3）∵∠DEF=90°，只有当DE=EF时，△DEF为等腰三角形，把条件代入即可．

解答：解：（1）∵EF⊥DE，
∴∠BEF=90°-∠CED=∠CDE，
又∠B=∠C=90°，
∴△BEF∽△CDE，
∴

BF

CE

=

BE

DC

，即

y

x

=

8-x

m

，解得y=

8x-x2

m

；

（2）由（1）得y=

8x-x2

m

，
将m=8代入，得y=-

1

8

x²+x=-

1

8

（x²-8x）=-

1

8

（x-4）²+2，
所以当x=4时，y取得最大值为2；

（3）∵∠DEF=90°，∴只有当DE=EF时，△DEF为等腰三角形，
∴△BEF≌△CDE，
∴BE=CD=m，
此时m=8-x，解方程

12

m

=

8x-x2

m

，得x=6，或x=2，
当x=2时，m=6，
当x=6时，m=2．

点评：本题把相似三角形与求二次函数解析式联系起来，在解题过程中，充分运用相似三角形对应边的比相等，建立函数关系式．