Question

【题目】已知OA是⊙O的半径，OA=1，点P是OA上一动点，过P作弦BC⊥OA，连接AB、AC．

（1）如图1，若P为OA中点，则AC=______，∠ACB=_______°；

（2）如图2，若移动点P，使AB、CO的延长线交于点D．记△AOC的面积为S1，△BOD的面积为S2．△AOD的面积为S3，且满足，求的值．

Answer 1

【答案】（1）1，30；（2）．

【解析】

（1）证得△AOC为等边三角形，得出AC＝1，∠ACO＝60°，可求出答案；

（2）若DC与圆O相交于点E，连接BE，证明△ABO≌△ACO（SSS），得出S△ABO＝S△ACO＝S1，由题意得出()2＋1＝0，解得：＝，求出，证明△AOD∽△BED，得出=，得出OP＝BE，则可求出答案．

解：（1）∵BC⊥OA，OB=OC，

∴BP=CP，

∵P是OA的中点，

∴OP=AP，

∴OA垂直平分BC，且BC垂直平分OA，

∴四边形ABOC是菱形，

∴AC=OC=OA=1，BC平分∠ACO，

∴△AOC是等边三角形，

∴∠ACO=60°，

∴∠ACB=∠ACO=30°，

故答案为：1，30；

（2）连接，

∵

∴，

∴，

∵，AO=AO，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

解得，，

∴，即，

∵为直径，

∴，

∴，

∴

∴，

∵

∴，

∴，

∴，

∴

∴．