Question

从1开始，连续的自然数相加，它们的和的倒数情况如下表：
（1）根据表中规律，求

1

1+2+3+…+10

=______；
（2）根据表中规律，则

1

1+2+3+4+…+n

=______；
（3）求

1

1+2

+

1

1+2+3

+

1

1+2+3+4

+

1

1+2+3+4+…+n

的值．

分母中加数的个数	和的倒数
2	1 1+2 =2( 1 2 - 1 3 )= 1 3
3	1 1+2+3 =2( 1 3 - 1 4 )= 1 6
4	1 1+2+3+4 =2( 1 4 - 1 5 )= 1 10
5	1 1+2+3+45 =2( 1 5 -)= 1 15
…	…

Answer 1

（1）按照下表的规律，可以

1

1+2+3+…+10

=2（

1

10

-

1

11

）=

1

55

；

（2）根据表中规律，则

1

1+2+3+4+…+n

=

2

n(n+1)

；

（3）由表中几个式子我们可以得出规律，即

1

1+2+3+4+…+n

=

2

n(n+1)

=2(

1

n

-

1

n+1

)．所以

1

1+2

+

1

1+2+3

+

1

1+2+3+4

+

1

1+2+3+4+…+n

=2（

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…

1

n

-

1

n+1

）=2（

1

2

-

1

n+1

）=

n-1

n+1

；