Question

（2013•南宁）如图，在边长为2的正三角形中，将其内切圆和三个角切圆（与角两边及三角形内切圆都相切的圆）的内部挖去，则此三角形剩下部分（阴影部分）的面积为

3

-

4

9

π

．

Answer 1

分析：连接OB，以及⊙O与BC的切点，在构造的直角三角形中，通过解直角三角形易求得⊙O的半径，然后作⊙O与小圆的公切线EF，易知△BEF也是等边三角形，那么小圆的圆心也是等边△BEF的重心；由此可求得小圆的半径，即可得到四个圆的面积，从而由等边三角形的面积减去四个圆的面积和所得的差即为阴影部分的面积．

解答：解：如图，连接OB、OD；
设小圆的圆心为P，⊙P与⊙O的切点为G；过G作两圆的公切线EF，交AB于E，交BC于F，
则∠BEF=∠BFE=90°-30°=60°，所以△BEF是等边三角形．
在Rt△OBD中，∠OBD=30°，
则OD=BD•tan30°=1×

3

3

=

3

3

，OB=2OD=

2 3

3

，BG=OB-OG=

3

3

；
由于⊙P是等边△BEF的内切圆，所以点P是△BEF的内心，也是重心，
故PG=

1

3

BG=

3

9

；
∴S_⊙O=π×（

3

3

）²=

1

3

π，S_⊙P=π×（

3

9

）²=

1

27

π；
∴S_阴影=S_△ABC-S_⊙O-3S_⊙P=

3

-

1

3

π-

1

9

π=

3

-

4

9

π．
故答案为

3

-

4

9

π．

点评：此题主要考查了等边三角形的性质、相切两圆的性质以及图形面积的计算方法，难度适中．