Question

如图，分别过点P_i（i，0）（i=1、2、…、n）作x轴的垂线，交y=

1

2

x2的图象于点A_i，交直线y=-

1

2

x于点B_i．则

1

A1B1

+

1

A2B2

+…+

1

AnBn

=

 

．

Answer 1

分析：根据函数图象上的坐标的特征求得A₁（1，

1

2

）、A₂（2，2）、A₃（3，

9

2

）…A_n（n，

1

2

n²）；B₁（1，-

1

2

）、B₂（2，-1）、B₃（3，-

3

2

）…B_n（n，-

n

2

）；然后由两点间的距离公式求得A₁B₁=|

1

2

-（-

1

2

）|=1，A₂B₂=|2-（-1）|=3，A₃B₃=|

9

2

-（-

3

2

）|=6，…A_nB_n=|

1

2

n²-（-

n

2

）|=

n(n+1)

2

；最后将其代入

1

A1B1

+

1

A2B2

+…+

1

AnBn

求值即可．

解答：解：根据题意，知A₁、A₂、A₃、…A_n的点都在函与直线x=i（i=1、2、…、n）的图象上，
B₁、B₂、B₃、…B_n的点都在直线y=-

1

2

x与直线x=i（i=1、2、…、n）图象上，
∴A₁（1，

1

2

）、A₂（2，2）、A₃（3，

9

2

）…A_n（n，

1

2

n²）；
B₁（1，-

1

2

）、B₂（2，-1）、B₃（3，-

3

2

）…B_n（n，-

n

2

）；
∴A₁B₁=|

1

2

-（-

1

2

）|=1，
A₂B₂=|2-（-1）|=3，
A₃B₃=|

9

2

-（-

3

2

）|=6，
…
A_nB_n=|

1

2

n²-（-

n

2

）|=

n(n+1)

2

；
∴

1

A1B1

=1，

1

A2B2

=

1

3

，
…

1

AnBn

=

2

n(n+1)

．
∴

1

A1B1

+

1

A2B2

+…+

1

AnBn

，
=1+

1

3

+

1

6

…+

2

n(n+1)

，
=2[

1

2

+

1

6

+

1

12

+…+

1

n(n+1)

]，
=2（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+1

），
=2（1-

1

n+1

），
=

2n

n+1

．
故答案为：

2n

n+1

．

点评：本题考查了二次函数的综合题．解答此题的难点是求

1

A1B1

+

1

A2B2

+…+

1

AnBn

=1+

1

3

+

1

6

…+

2

n(n+1)

的值．在解时，采取了“裂项法”来求该数列的和．