Question

【题目】如图所示，在平面直角坐标系中，过点A（，0）的两条直线分别交y轴于B、C两点，且B、C两点的纵坐标分别是一元二次方程的两个根．

（1）求线段BC的长度；

（2）试问：直线AC与直线AB是否垂直？请说明理由；

（3）若点D在直线AC上，且DB=DC，求点D的坐标；

（4）在（3）的条件下，直线BD上是否存在点P，使以A、B、P三点为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）4；（2）垂直；（3）D（，1）；（4）P（，0），（，2），（﹣3，），（3，）．

【解析】

试题分析：（1）∵，∴x=3或x=﹣1，∴B（0，3），C（0，﹣1），∴BC=4；

（2）∵A（，0），B（0，3），C（0，﹣1），∴OA=，OB=3，OC=1，∴=OBOC，∵∠AOC=∠BOA=90°，∴△AOC∽△BOA，∴∠CAO=∠ABO，∴∠CAO+∠BAO=∠ABO+∠BAO=90°，∴∠BAC=90°，∴AC⊥AB；

（3）设直线AC的解析式为y=kx+b，把A（，0）和C（0，﹣1）代入y=kx+b，∴，解得：，∴直线AC的解析式为：，∵DB=DC，∴点D在线段BC的垂直平分线上，∴D的纵坐标为1，∴把y=1代入，∴x=，∴D的坐标为（，1）；

（4）设直线BD的解析式为：y=mx+n，直线BD与x轴交于点E，把B（0，3）和D（，1）代入y=mx+n，∴，解得：，∴直线BD的解析式为：，令y=0代入，∴x=，∴E（，0），∴OE=，∴tan∠BEC==，∴∠BEO=30°，同理可求得：∠ABO=30°，∴∠ABE=30°．

当PA=AB时，如图1，此时，∠BEA=∠ABE=30°，∴EA=AB，∴P与E重合，∴P的坐标为（，0）；当PA=PB时，如图2，此时，∠PAB=∠PBA=30°，∵∠ABE=∠ABO=30°，∴∠PAB=∠ABO，∴PA∥BC，∴∠PAO=90°，∴点P的横坐标为，令x=代入，∴y=2，∴P（，2）；

当PB=AB时，如图3，∴由勾股定理可求得：AB=，EB=6，若点P在y轴左侧时，记此时点P为P1，过点P1作P1F⊥x轴于点F，∴P1B=AB=，∴EP1=6﹣，∴sin∠BEO=，∴FP1=，令y=代入，∴x=﹣3，∴P1（﹣3，）；若点P在y轴的右侧时，记此时点P为P2，过点P2作P2G⊥x轴于点G，∴P2B=AB=，∴EP2=6+，∴sin∠BEO=，∴GP2=，令y=代入，∴x=3，∴P2（3，）．

综上所述，当A、B、P三点为顶点的三角形是等腰三角形时，点P的坐标为（，0），（，2），（﹣3，），（3，）．