Question

15．如图，四边形OABC是平行四边形，点C在x轴上，反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象经过点A（5，12），且与边BC交于点D．若AB=BD，则点D的坐标为（8，$\frac{15}{2}$）．

Answer 1

分析 先根据点A（5，12），求得反比例函数的解析式为y=$\frac{60}{x}$，可设D（m，$\frac{60}{m}$），BC的解析式为y=$\frac{12}{5}$x+b，把D（m，$\frac{60}{m}$）代入，可得b=$\frac{60}{m}$-$\frac{12}{5}$m，进而得到BC的解析式为y=$\frac{12}{5}$x+$\frac{60}{m}$-$\frac{12}{5}$m，据此可得OC=m-$\frac{25}{m}$=AB，过D作DE⊥AB于E，过A作AF⊥OC于F，根据△DEB∽△AFO，可得DB=13-$\frac{65}{m}$，最后根据AB=BD，得到方程m-$\frac{25}{m}$=13-$\frac{65}{m}$，进而求得D的坐标．

解答 解：∵反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象经过点A（5，12），
∴k=12×5=60，
∴反比例函数的解析式为y=$\frac{60}{x}$，
设D（m，$\frac{60}{m}$），
由题可得OA的解析式为y=$\frac{12}{5}$x，AO∥BC，
∴可设BC的解析式为y=$\frac{12}{5}$x+b，
把D（m，$\frac{60}{m}$）代入，可得$\frac{12}{5}$m+b=$\frac{60}{m}$，
∴b=$\frac{60}{m}$-$\frac{12}{5}$m，
∴BC的解析式为y=$\frac{12}{5}$x+$\frac{60}{m}$-$\frac{12}{5}$m，
令y=0，则x=m-$\frac{25}{m}$，即OC=m-$\frac{25}{m}$，
∴平行四边形ABCO中，AB=m-$\frac{25}{m}$，
如图所示，过D作DE⊥AB于E，过A作AF⊥OC于F，则△DEB∽△AFO，
∴$\frac{DB}{DE}$=$\frac{AO}{AF}$，而AF=12，DE=12-$\frac{60}{m}$，OA=$\sqrt{{5}^{2}+1{2}^{2}}$=13，
∴DB=13-$\frac{65}{m}$，
∵AB=DB，
∴m-$\frac{25}{m}$=13-$\frac{65}{m}$，
解得m₁=5，m₂=8，
又∵D在A的右侧，即m＞5，
∴m=8，
∴D的坐标为（8，$\frac{15}{2}$）．
故答案为：（8，$\frac{15}{2}$）．

点评 本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及平行四边形的性质的运用，解决问题的关键是作辅助线构造相似三角形，依据平行四边形的对边相等以及相似三角形的对应边成比例进行计算，解题时注意方程思想的运用．