Question

如图，在△ABC中，∠C=90°，以AC为直径的⊙O交斜边AB于点E，线段BC上有一点D满足OD∥AB．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若CO=2，DE=，求斜边AB的长．

Answer 1

（1）证明：连接OE，
∵OE=OA，
∴∠3=∠A，
∵OD∥AB，
∴∠1=∠A，∠2=∠3，
∴∠1=∠2，
在△CDO和△EDO中，
，
∴△CDO≌△EDO（SAS），
∴∠DEO=∠BCA=90°，
∵OE为半径，
∴DE是⊙O切线．

（2）解：∵CO=OE=2，DE=，∠DEO=90°，
由勾股定理得：DC==3，
∵OC=OA，OD∥AB，
∴CD=BD，
∴AB=2CD=2×3=6．
分析：（1）求出△CDO≌△EDO，推出∠DEO=90°，根据切线的判定推出即可；
（2）根据勾股定理求出OD，得出OD是三角形CBA的中位线，根据三角形中位线求出即可．
点评：本题考查了全等三角形性质和判定，三角形中位线，切线的判定，勾股定理，等腰三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理和计算能力．