题目内容

如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、B在双曲线 $数学公式$ 上，BC与x轴交于点D．若点A的坐标为（1，2），则四边形OABD的面积为________．

$\text{[math]}$
分析：首先求出直线AO解析式，进而得出AB直线解析，再利用AB直线解析式与反比例函数联立求出B点坐标，进而利用S_{四边形OABD}=S_△OAE-S_△BDE，求出即可．
解答：∵A在双曲线上，∴k=xy=2，
故y= $\text{[math]}$ ，
设AO方程为y=kx，将A点坐标代入得出：
2=1×k，
解得：k=2，
故AO直线解析式为：y=2x，
∵AB⊥AO，
∴直线AB的解析式可以假设为y=- $\text{[math]}$ x+b，
将A点坐标代入得：b= $\text{[math]}$ ，
故直线AB的解析式为：y=- $\text{[math]}$ x+ $\text{[math]}$ ，
将直线AB与反比例函数联立得出：
$\text{[math]}$ ，
解得： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
那么B点坐标为：（4， $\text{[math]}$ ），
∵BC∥AO，BC经过B点，
∴BC直线解析式一次项系数为：2，

故设解析式为：y=2x+c，
将B点代入得出： $\text{[math]}$ =2×4+c
故 b=- $\text{[math]}$ ，
则直线BC解析式为：y=2x- $\text{[math]}$ ，
则BC与x轴交点D为：0=2x- $\text{[math]}$ ，
解得：x= $\text{[math]}$ ，
故D点坐标为：（ $\text{[math]}$ ，0），
∵直线AB的解析式为：y=- $\text{[math]}$ x+ $\text{[math]}$ ，
∴AB与x轴交点坐标E为：（5，0），
则S_{四边形OABD}
=S_△OAE-S_△BDE
= $\text{[math]}$ ×OE×|Ay|- $\text{[math]}$ ×DE×|By|
= $\text{[math]}$ ×5×2- $\text{[math]}$ ×（5- $\text{[math]}$ ）× $\text{[math]}$
=5- $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ ．
故答案为： $\text{[math]}$ ．
点评：此题主要考查了反比例函数的综合应用以及待定系数法求一次函数和反比例函数解析式和三角形面积求法等知识，得出D，E点坐标是解题关键．