题目内容

已知：反比例函数 $数学公式$ 和 $数学公式$ 在平面直角坐标系xOy第一象限中的图象如图所示，点A在 $数学公式$ 的图象上，AB∥y轴，与 $数学公式$ 的图象交于点B，AC、BD与x轴平行，分别与 $数学公式$ ， $数学公式$ 的图象交于点C、D．
（1）若点A的横坐标为2，求梯形ACBD的对角线的交点F的坐标；
（2）若点A的横坐标为m，比较△OBC与△ABC的面积的大小，并说明理由；
（3）若△ABC与以A、B、D为顶点的三角形相似，请直接写出点A的坐标．

解：（1）如图，由题可知，当点A的横坐标为2时，点A、B、C、D的坐标分别为A（2，4），B（2，1），C（ $\text{[math]}$ ，4），D（8，1）．
解一：直线CD的解析式为 $\text{[math]}$ ．
∵AB∥y轴，F为梯形ACBD的对角线的交点，
∴x=2时， $\text{[math]}$ ．
∴点F的坐标为 $\text{[math]}$ ．
解二： $\text{[math]}$ ．
∵梯形ACBD，AC∥BD，F为梯形ACBD的对角线的交点，
∴△ACF∽△BDF．
∴ $\text{[math]}$ ．
∴ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点F的纵坐标为 $\text{[math]}$ ．
∴点F的坐标为 $\text{[math]}$ ；

（2）如图，作BM⊥x轴于点M．作CN⊥x轴于点N．当点A的横坐标为m时，点A、
B、C、D的坐标分别为 $\text{[math]}$ ．
$\text{[math]}$ ．
S_△OBC=S_梯形CNMB+S_△OCN-S_△OBM=S_梯形CNMB= $\text{[math]}$
∴S_△OBC＞S_△ABC；

（3）点A的坐标为（2，4）．
分析：（1）首先根据点A的横坐标和双曲线的解析式，可以分别求得点A、B、C、D四个点的坐标．根据点C、D的坐标可以运用待定系数法求得直线CD的解析式，根据题意，得点F的横坐标是2，再进一步把x=2代入直线CD的解析式即可求得点F的纵坐标；
（2）根据（1）中的方法可以用m表示出A、B、C、D四个点的坐标，从而求得直角三角形ABC的面积；由于三角形OBC的形状不规则，可以对其面积进行转换．作BM⊥x轴于点M．作CN⊥x轴于点N．根据反比例函数的解析式可知：S_△OCN=S_△OBM=1．所以该三角形的面积即为梯形CNMB的面积，根据梯形的面积公式进行计算，再进一步比较其大小；
（3）根据两个三角形相似，则夹直角的两组对应边的比应相等，即AB²=AC•BD，再结合（2）中的坐标计算出线段的长度，列方程得m⁴=16，又m＞0，则m=2．
点评：注意几个结论：（1）双曲线y= $\text{[math]}$ 上任意一点向x轴或y轴引垂线，这点、垂足和原点组成的三角形的面积是 $\text{[math]}$ ；（2）平行于x轴的线段的长等于两个点的横坐标差的绝对值；平行于y轴的线段的长等于两个点的纵坐标的差的绝对值．