题目内容

22、如图ABCD是一个正方形花园，E、F是它的两个门，且DE=CF，要修建两条路BE和AF，这两条路等长吗？它们有什么位置关系？请证明你的猜想．
分析：由DE=CF可得AE=DF?△ADF≌△BAE，然后根据全等三角形的对应角相等可得出BE与AF的关系．
解答：解：BE=AF，BE⊥AF；
理由：AE=DF，AD=BA
∴△ABE≌△ADF（SAS）
∴BE=AF，∠ABE=∠DAF
∵∠ABE+∠AEB=90°
∴∠DAF+∠AEB=90°
∴∠AOE=90°
∴BE⊥AF．
点评：本题考查全等三角形的判定，SAS判定法，属基础题．
练习册系列答案
相关题目
问题背景  某课外学习小组在一次学习研讨中，得到如下两个命题：
①如图1，O是正三角形ABC的中心，∠MON分别与AB、BC交于点P，Q，若∠MON=120°，则四边形OPBQ的面积等于三角形ABC面积的三分之一．
②如图2，O是正方形ABCD的中心，∠MON分别与AB、BC交于点P，Q，若∠MON=90°，则四边形OPBQ的面积等于正方形ABCD面积的四分之一．
然后运用类比的思想提出了如下的命题：
③如图3，O是正五边形ABCDE的中心，∠MON分别与AB、BC交于点P，Q，若∠MON=72°，则四边形OPBQ的面积等于五边形ABCDE面积的五分之一．
任务要求
（1）请你从①、②、③三个命题中选择一个进行证明；
（2）请你继续完成下面的探索：
如图4，在正n（n≥3）边形ABCDEF…中，O是中心，∠MON分别与AB、BC交于点P，Q，若∠MON 等于多少度时，则四边形OPBQ的面积等于正n边形ABCDE…面积的n分之一？（不要求证明）
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（1）填空：如图1，在正△ABC中，M、N分别在BC、AC上，且BM=CN，连AM、BN交于点O，则∠AON=
 
°
（2）填空：如图2，在正方形PQRS中，已知点M、N分别在边QR、RS上，且QM=RN，连接PN、SM相交于点O，则∠POM=
 
°．
（3）如图3，在等腰梯形ABCD中，已知AB∥CD，BC=CD，∠ABC=60°．以此为部分条件，构造一个与上述命题类似的正确命题并加以证明．
（4）在（1）的条件下，把直线AM平移到图4的直线EOF位置，
①写出所有与△BOF相似的三角形：
 

②若点N是AC中点，（其它条件不变）试探索线段EO与FO的数量关系，并说明理由．
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有一张矩形纸片ABCD，按下面步骤进行折叠：
第一步：如图①，将矩形纸片ABCD折叠，使点B、D重合，点C落在点C′处，得折痕EF；
第二步：如图②，将五边形AEFC′D折叠，使AE、C′F重合，得折痕DG，再打开；
第三步：如图③，进一步折叠，使AE、C′F均落在DG上，点A、C′落在点A′处，点E、F落在点E′处，得折痕MN、QP．
这样，就可以折出一个五边形DMNPQ．
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（1）请写出图①中一组相等的线段
 
写出一组即可；
（2）若这样折出的五边形DMNPQ，如图③，恰好是一个正五边形，当AB=a，AD=b，DM=m时，有下列结论：
①a2-b2=2abtan18°；②m=
a2+b2
•tan18°；
③b=m+atan18°；④b=
3
2
m+mtan18°．
其中，正确结论的序号是
 
把你认为正确结论的序号都填上．
阅读下面材料：
小伟遇到这样一个问题：如图1，在正三角形ABC内有一点P，且PA=3，PB=4，PC=5，求∠APB的度数．
小伟是这样思考的：如图2，利用旋转和全等的知识构造△AP′C，连接PP′，得到两个特殊的三角形，从而将问题解决．
请你回答：图1中∠APB的度数等于
150°
150°
．
参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：
（1）如图3，在正方形ABCD内有一点P，且PA=2
2
，PB=1，PD=
17
，则∠APB的度数等于
135°
135°
，正方形的边长为
13
13
；
（2）如图4，在正六边形ABCDEF内有一点P，且PA=2，PB=1，PF=
13
，则∠APB的度数等于
120°
120°
，正六边形的边长为
7
7
．

有一张矩形纸片ABCD，按下面步骤进行折叠：

第一步：如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点B、D重合，点C落在点处，得折痕EF；

第二步：如图，将五边形折叠，使AE、重合，得折痕DG，再打开；

第三步：如图，进一步折叠，使AE、均落在DG上，点A、落在点处，点E、F落在点处，得折痕MN、QP．

这样，就可以折出一个五边形DMNPQ．

(Ⅰ)请写出图①中一组相等的线段________(写出一组即可)；

(Ⅱ)若这样折出的五边形DMNPQ

(如图③)恰好是一个正五边形，当AB＝a，AD＝b，DM＝m时，有下列结论：

①a2－b2＝2abtan18°；

②；

③b＝m＋atan18°；

④b＝m＋mtan18°．

其中，正确结论的序号是________(把你认为正确结论的序号都填上)．

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