Question

如图所示，在梯形ABCD中，上底AD=1cm，下底BC=4cm，对角线BD⊥AC，交点为E，且BD=3cm，AC=4cm．
（1）求ABCD面积；
（2）求△BEC面积．

Answer 1

分析：（1）首先过点D作DF∥AC交BC的延长线于F点．易证得四边形ACFD为平行四边形．由BD⊥AC，即可得BD⊥DF，又由在Rt△BDF中，BD=3cm，DF=4cm，BF=5cm，即可求得BC边上的高，继而求得四边形ABCD面积；
（2）由AD∥BC，即可证得△ADE∽△CBE，然后由相似三角形的对应边成比例，求得BE与CE的长，继而求得△BEC面积．

解答：解：（1）过点D作DF∥AC，交BC的延长线于F点．
∵AD∥BC，
∴四边形ACFD为平行四边形．
∴DF=AC=4cm，AC∥DF，CF=AD=1cm，
∴BF=BC+CF=4+1=5（cm），
∵AC⊥BD，
∴BD⊥DF，
在Rt△BDF中，BD=3cm，DF=4cm，BF=5cm，
∴BC边上的高h为：

3×4

5

=

12

5

（cm），
∴S_{四边形ABCD}=

1

2

（AD+BC）h=

1

2

×（1+4）×

12

5

=6（cm²）；

（2）∵AD∥BC，
∴△ADE∽△CBE，
∴

DE

BE

=

AE

EC

=

AD

BC

=

1

4

，
∴

DE

3-DE

=

1

4

，

AE

4-AE

=

1

4

，
∴DE=

3

5

cm，AE=

4

5

cm，
∴BE=3-DE=3-

3

5

=

12

5

（cm），EC=4-AE=

16

5

（cm），
S_△BEC=

1

2

BE•EC=

1

2

×

16

5

×

12

5

=

96

25

（cm²）．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、梯形的性质、平行四边形的判定与性质以及直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想与方程思想的应用．