题目内容
如图所示，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于点A，且AC=AB，CO交⊙O于点P，CO的延长线交⊙O于点F，BP的延长线交AC于点E，连接AP、AF．
求证：
（1）AF∥BE；
（2）△ACP∽△FCA；
（3）CP=AE．
求证：
（1）AF∥BE；
（2）△ACP∽△FCA；
（3）CP=AE．
证明：（1）∵∠B、∠F同对劣弧AP，
∴∠B=∠F，
∵BO=PO，
∴∠B=∠BPO，
∴∠F=∠BPF，
∴AF∥BE．
（2）∵AC切⊙O于点A，AB是⊙O的直径，
∴∠BAC=90°．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠BPA=90°，
∴∠EAP=90°-∠BEA，∠B=90°-∠BEA，
∴∠EAP=∠B=∠F，
又∠C=∠C，
∴△ACP∽△FCA．
（3）∵∠CPE=∠BPO=∠B=∠EAP，∠C=∠C．
∴△PCE∽△ACP
∴
=
，
∵∠EAP=∠B，∠EPA=∠APB=90°，
∴△EAP∽△ABP．
∴
=
，
又AC=AB，
∴
=
，
于是有
=
．
∴CP=AE．
∴∠B=∠F，
∵BO=PO，
∴∠B=∠BPO，
∴∠F=∠BPF，
∴AF∥BE．
（2）∵AC切⊙O于点A，AB是⊙O的直径，
∴∠BAC=90°．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠BPA=90°，
∴∠EAP=90°-∠BEA，∠B=90°-∠BEA，
∴∠EAP=∠B=∠F，
又∠C=∠C，
∴△ACP∽△FCA．
（3）∵∠CPE=∠BPO=∠B=∠EAP，∠C=∠C．
∴△PCE∽△ACP
∴
| PC |
| PE |
| AC |
| AP |
∵∠EAP=∠B，∠EPA=∠APB=90°，
∴△EAP∽△ABP．
∴
| AE |
| PE |
| AB |
| AP |
又AC=AB，
∴
| AE |
| PE |
| AC |
| AP |
于是有
| PC |
| PE |
| AE |
| PE |
∴CP=AE．
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