Question

 如图，在⊙O中，AB为直径，OC⊥AB，弦CD与OB交于点F，在AB的延长线上有点E，且EF=ED．

（1）求证：DE是⊙O的切线；

（2）若OF：OB=1：3，⊙O的半径R=3，求的值．

Answer 1

    （1）证明：连结OD，如图，

∵EF=ED，

∴∠EFD=∠EDF，

∵∠EFD=∠CFO，

∴∠CFO=∠EDF，

∵OC⊥OF，

∴∠OCF+∠CFO=90°，

而OC=OD，

∴∠OCF=∠ODF，

∴∠ODC+∠EDF=90°，即∠ODE=90°，

∴OD⊥DE，

∴DE是⊙O的切线；

（2）解：∵OF：OB=1：3，

∴OF=1，BF=2，

设BE=x，则DE=EF=x+2，

∵AB为直径，

∴∠ADB=90°，

∴∠ADO=∠BDE，

而∠ADO=∠A，

∴∠BDE=∠A，

而∠BED=∠DAE，

∴△EBD∽△EDA，

∴==，即==，

∴x=2，

∴==．