Question

13．如图，已知AB⊥CD于点D，点E为平面内一点，且∠BOE=60°．
（1）∠COE=30°或150°度；
（2）画OF平分∠COE，OG平分∠BOE，则∠FOG=45°度；
（3）在（2）的条件下，若将题目中∠BOE=60°改成∠BOE=α°（α＜90），其他条件不变，你能求出∠FOG的度数吗？若能，请你写出求解过程；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）首先根据题意画出图形，由AB⊥CD，可知然后∠COB=90°，图1中有∠EOC=∠COB+∠BOE；图2中有∠EOC=∠COB-∠BOE；
（2）如图3，因为OF平分∠COE，∠COF=75°，从而可知∠FOB=15°，因为OG平分∠BOE，可求得∠BOG=30°，可求得∠FOG=45°；如图4；∠COE=30°，根据角平分线的定义可知∠COF=15°，∠BOG=30°，从而可知∠FOG=45°；
（3如图3，由角平分线的性质可知：∠COF=45$°+\frac{1}{2}α$，从而可求得∠FOB=45°-$\frac{1}{2}α$，由角平分线的定义可知∠BOG=$\frac{1}{2}$∠BOE=$\frac{1}{2}α$，∠FOG=45°；如图4；∠COE=90°-∠EOB=90°-α，由角平分线的定义可知∠COF=45$°-\frac{1}{2}α$，∠BOG=$\frac{1}{2}α$，∠FOG=45°．

解答 解：（1）如图1、2所示：

∵AB⊥CD，
∴∠COB=90°．
如图1，∠EOC=∠COB+∠BOE=90°+60°=150°，
如图2，∠EOC=∠COB-∠BOE=90°-60°=30°．
（2）如图3、4所示；

如图3，∵OF平分∠COE，
∴∠COF=$\frac{1}{2}∠COE$=75°．
∴∠FOB=90°-75°=15°．
∵OG平分∠BOE，
∴∠BOG=$\frac{1}{2}∠BOE$=30°，
∴∠FOG=15°+30°=45°．
如图4；∠COE=90°-∠EOB=90°-60°=30°，
∵OF平分∠COE，
∴∠COF=$\frac{1}{2}∠COE$=15°．
∵OG平分∠BOE，
∴∠BOG=$\frac{1}{2}∠BOE$=30°，
∴∠FOG=15°+30°=45°．
（3）如（2）中图3、4所示：

如图3所示：
∵OF平分∠COE，
∴∠COF=$\frac{1}{2}∠COE$=$\frac{1}{2}（90°+α）$=45$°+\frac{1}{2}α$．
∴∠FOB=90°-$\frac{1}{2}∠COE$=90°-45°-$\frac{1}{2}α$=45°-$\frac{1}{2}α$．
∵OG平分∠BOE，
∴∠BOG=$\frac{1}{2}$∠BOE=$\frac{1}{2}α$，
∴∠FOG=45°-$\frac{1}{2}α$+$\frac{1}{2}α$=45°
如图4；∠COE=90°-∠EOB=90°-α，
∵OF平分∠COE，
∴∠COF=$\frac{1}{2}∠COE$=$\frac{1}{2}$（90°-α）=45$°-\frac{1}{2}α$．
∵OG平分∠BOE，
∴∠BOG=$\frac{1}{2}α$，
∴∠FOG=45$°-\frac{1}{2}α$+$\frac{1}{2}α$=45°．
综上所述，∠FOG=45°，对于α＜90°恒成立．

点评 本题主要考查的是角平分线的定义和垂直的定义，掌握角平分线的定义是解题的关键．