Question

已知：抛物线（为常数，且）.

（1）求证：抛物线与轴有两个交点；

（2）设抛物线与轴的两个交点分别为、（在左侧），与轴的交点为.

①当时，求抛物线的解析式；

②将①中的抛物线沿轴正方向平移个单位（>0），同时将直线：沿轴正方向平移个单位.平移后的直线为，移动后、的对应点分别为、.当为何值时，在直线上存在点，使得△为以为直角边的等腰直角三角形?

Answer 1

解：（1）证明：令,则.

△=．

∵ ,

∴ ．

∴ △.   

∴ 方程有两个不相等的实数根.

∴ 抛物线与轴有两个交点.

（2）①令,则，

解方程，得.

∵在左侧，且，

∴抛物线与轴的两个交点为，.

∵ 抛物线与轴的交点为，

∴ .

∴ .

在Rt△中，，

．

可得 ．

∵ ，

∴ ．

∴ 抛物线的解析式为.

        ②依题意，可得直线的解析式为，，,

.

∵ △为以为直角边的等腰直角三角形，

∴ 当时，点的坐标为或.

∴ .

解得 或.

当时，点的坐标为或.

∴.

解得或（不合题意，舍去）.

综上所述，或.