题目内容

如图，矩形DEFG的一组对边DE、GF截等边三角形ABC的两边AB、AC均成三等分，点G、F分别在AB、AC上，已知图中两个三角形（阴影部分）的面积和为 $数学公式$ ，则等边△ABC的边长为________．

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分析：设等边三角形的边长为3a．根据已知条件“DE、GF截等边三角形ABC的两边AB、AC均成三等分”求得HG=FI=a；然后根据两直线GF∥BC同位角相等及矩形的内角是90°求得∠DGH=30°，再在直角三角形中求得GD、DH的长度，从而求得S_△DGH= $\text{[math]}$ a²；同理求得S_△EFI= $\text{[math]}$ a²；最后根据“图中两个三角形（阴影部分）的面积和为 $\text{[math]}$ ”来解关于a的方程．注意a是正数．
解答：

解：设等边三角形的边长为3a．
∵DE、GF截等边三角形ABC的两边AB、AC均成三等分，
∴HG=FI=a；
∵GF∥BC，
∴∠AGF=∠ABC=60°，
∴∠DGH=90°-60°=30°；
∴DH= $\text{[math]}$ GH= $\text{[math]}$ a，GD= $\text{[math]}$ a；
∴S_△DGH= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ a× $\text{[math]}$ a= $\text{[math]}$ a²；
同理求得，S_△EFI= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ a× $\text{[math]}$ a= $\text{[math]}$ a²；
∵S_阴影=S_△DGH+S_△EFI= $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ a²+ $\text{[math]}$ a²，
解得，a=2或a=-2（不合题意，舍去），
∴3a=6，即等边三角形的边长为6．
故答案是：6．
点评：本题综合考查了矩形的性质（对边平行且相等，内角是90°）、平行线的性质（两直线平行，同位角相等）及直角三角形的解法．解答此题时，注意等边三角形的边长3a的取值范围3a＞0，即a＞0．